Sur l'interprétation probabiliste de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires

Probabilistic interpretation of some nonlinear partial differential equations

• Auteur / Autrice : Benjamin Jourdain
• Direction : Sylvie Méléard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Jury : Président / Présidente : Benoît Perthame
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carl Graham, Bernard Lapeyre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Denis Talay, Thomas G. Kurtz

Mots clés

Mots clés libres

Equation dérivée partielle

Equation non linéaire

Equation évolution

Equation burgers

Loi conservation

Approche probabiliste

Martingale

Fluctuation

Chaos

Ecoulement milieu poreux

Partial differential equation

Non linear equation

Evolution equation

Burgers equation

Conservation law

Probabilistic approach

Martingale

Fluctuations

Chaos

Porous medium flow

Résumé

La démarche adoptée dans ce travail de thèse est la suivante. Considérant une équation d’évolution non linéaire, nous cherchons à lui associer une probabilité P sur un espace de trajectoires telle que : a) ou bien les marginales en temps de P possèdent par rapport à la mesure du Lebesgue en espace des densités qui sont solution faible de l’équation d’évolution ; b) ou bien, dans le cas de la dimension un d’espace, les fonctions de répartition des marginales sont solution faible de l’équation. Une fois la probabilité P obtenue comme l’unique solution d’un problème de martingales non linéaire, nous construisons un système de n particules en interaction probabiliste dont la mesure empirique converge vers P lorsque n tend vers l’infini. Un tel résultat de convergence, appelé propagation du chaos, permet d’envisager d’approcher les solutions de l’équation d’évolution en simulant le système de particules. Pur l’essentiel, nous traitons suivant ce programme des équations de type parabolique dont l’équation de Burgers visqueuse et celle des milieux poreux. Sous P, le processus canonique sur l’espace des trajectoires continues est alors une diffusion non linéaire. Nous nous intéressons aussi à une équation cinétique liée aux lois de conservation scalaires et travaillons pour cela sur un espace de trajectoires comportant des sauts. Enfin, nous montrons sur des exemples qu’il n’est pas nécessaire de se limiter au cas naturel où la condition initiale de l’équation d’évolution est une probabilité ou une fonction de répartition de probabilité. Il est possible d’adapter la démarche pour prendre en compte les mesures signées bornées ou leurs fonctions de répartition.

The way we interpret a given nonlinear evolution equation is as follows : we try to associate it with a probability measure P on a sample-paths space such that : a) either the time marginals of P are absolutely continuous with respect to Lebesgue measure and the corresponding densities provide a weak solution of the evolution equation ; b) or, in the one-dimensional space case, the cumulative distribution functions of the time marginals solve weakly the equation. Once P is obtained as the unique solution of a nonlinear martingale problem, we construct a probabilistic interacting particle system, the empirical measure of which converges to P when the number of particles goes to infinity. Thanks to this convergence result called propagation of chaos, it is possible to approximate the solution of the evolution equation by simulating the particle system. Essentially, we apply this program to some parabolic equations including the viscous Burgers equation and the porous medium equation. Under the distribution P, the canonical process on the space of continuous sample-paths is then a nonlinear diffusion process. We are also interested in a kinetic equation linked with the scalar conservation laws. The corresponding probability space is a càdlàg sample-paths space. Lastly, we do not limit ourselves to probability measures and probability cumulative distribution functions as initial conditions for the evolution equations. We adapt the framework to take into account bounded signed measures and distribution functions of such measures.