Estimation non-paramétrique asymptotiquement efficace pour des processus de diffusion ergodiques

• Auteur / Autrice : Arnak S. Dalalyan
• Direction : Yuri A. Kutoyants
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Le Mans

Mots clés

Mots clés contrôlés

Efficacité asymptotique (statistique)

Constantes (mathématiques)

Théorie ergodique

Maximums et minimums

Statistique non paramétrique -- Théorie asymptotique

Résumé

Cette thèse est consacrée à deux problèmes de l’estimation non-paramétrique dans le cadre des processus de diffusion ergodiques. Dans les deux problèmes, on suppose qu’une trajectoire continue d’un processus de diffusion ergodique est observée sur l’intervalle du temps [0,T]. La seule information a priori que nous avons sur la dérive est son appartenance à un sous ensemble compact de Cm (R) convenablement choisi. Contrairement à la dérive, le coefficient de diffusion est supposé être connu. Le comportement des estimateurs est étudié par rapport au risque quadratique intégré lorsque le temps d’observation tend vers l’infini. Nous étudions d’abord le problème de l’estimation de la dérivée de la densité invariante. Les approches minimax global et minimax local sont développées et l’asymptotique exacte du risque minimax est obtenue. Le second problème considéré dans cette thèse est l’estimation de la dérive. Nous établissons d’abord une borne inférieure du risque minimax local et utilisons ensuite l’estimateur asymptotiquement efficace de la dérivée de la densité invariante pour définir un estimateur de la dérive. L’efficacité asymptotique de cet estimateur dans le sens minimax local est prouvée.

Two problems of nonparametric curve estimation are considered. In both problems the observation is a continuous path of an ergodic diffusion process over the time interval [0,T]. The diffusion coefficient of this process is supposed to be known. Thus the only unknown parameter is the trend coefficient. We develop the Pinsker’s approach for the model of ergodic diffuston supposing that the parameter space is a subset of a Sobolev ball and the L2-type risk is used to measure the error of estimation. The first problem studied in this work is the estimation of the derivative of invariant density. The local and the global minimax risks are considered. In both cases the exact asymptotics of these risks are found and some asymptotically efficient estimators are constructed. A generalization of these results to the higher order derivative estimation problem is proposed. The second problem investigated in this work is the trend coefficient estimation. In this problem, a lower bound of the local minimax risk is obtained. Then, using asymptotically efficient estimators of the invariant density and its derivative, an estimator of the trend coefficient is constructed. This last estimator is proved to be asymptotically efficient in the local minimax sense.