Intégrales de Paley-Wiener et calcul de Malliavin-Skorohod pour des processus gaussiens

par Ida Kruk Wojtczak

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Francesco Russo.

Soutenue en 2010

à Paris 13 .

mots clés

• Wiener, Intégrales de
• Malliavin, Calcul de
• Itô, Intégrales d'
• Analyse de covariance

Résumé

Cette thèse développe un formalisme intrinsèque de calcul stochastique de type Malliavin-Skorohod pour un processus intégrateur gaussien X continu avec des considérations générales sur l’intégrale de Paley-Wiener du premier et du second ordre pour des processus continus en norme quadratique. Nous nous intéressons aussi bien au cas où la covariance de X est plus régulière que celle du mouvement brownien qu’au cas où elle plus singulière. Nous nous intéressons également aux connexions avec le calcul stochastique via régularisation et à sa notion de variation quadratique. Parmi les exemples traités nous trouvons les processus X dont la derivée mixte de la covariance est une mesure signée, les processus à accroissements stationnaires, le mouvement browninen bifractionnaire et les processus résultants d’une convolution du mouvement brownien par un noyau de type Volterra.

Titre traduit

Paley-Wiener integrals and Malliavin-Skorohod calculus for Gaussian processes

Résumé

Abstract: This thesis develops an intrinsic formalism for stochastic calculus of Malliavin-Skorohod type based on a continuous, Gaussian process X. The first part of the thesis provides general considerations on Paley-Wiener integral of first and second order for second order processes continuous in L2. We treat the case when the covariance of X is more regular than the one of Brownian motion as well as the case when it is more singular. In particular we analyze its relation with stochastic calculus via regularization and the related concept of quadratic variation. We focus on several examples of processes X such as the covariance measure structure processes, the bifractional Brownian motion, the processes with stationary increments and some processes appearing as convolution of Brownian motion through a Volterra kernel.