Schémas aux différences finies adaptatifs pour les ondes élastiques en milieu anisotrope

Adaptive finite difference schemes for elastic waves in anisotropic media

• Auteur / Autrice : Malik Haloui
• Direction : Ludovic Metivier, Jean-Marie Mirebeau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2025
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : EDP

Mots clés

Mots clés libres

Différences finies adaptative

Équation des ondes élastiques

Anisotropie

Inversion tomographique

Calcul parallèle

Adaptive finite difference

Elastic wave equation

Anisotropy

Tomographic inversion

Parallel computing

Résumé

La tomographie sismique par inversion de forme d'onde complète consiste à comparer des sismogrammes physiquement mesurés avec les résultats de simulations numériques de l'équation des ondes dans un milieu fictif. Les paramètres de ce milieu sont progressivement ajustés, pour accorder les résultats physiques et numériques, et ainsi déduire les propriétés du sous-sol. Le nombre et le choix de ces paramètres est un aspect crucial de la modélisation~: alors que des modèles simplifiés se contentent de reconstruire une vitesse de propagation, la prise en compte la plus générale des propriétés élastiques anisotropes du milieu - issues de sa constitution en couches sédimentaires et de leurs déformations tectoniques - fait intervenir un tenseur de Hooke ayant 21 coefficients indépendants. L'utilisation d'un modèle aussi riche ouvre la porte à des reconstructions précises, mais apporte cependant un lot de difficultés numériques qui sont l'objet de la thèse. L'objectif principal est d'étudier et de mettre en oeuvre un schéma numérique aux différences finies pour l'équation des ondes élastiques en anisotropie générale, dont l'efficacité repose sur une décomposition du tenseur de Hooke via la décomposition de Voronoï des formes quadratiques, inédite dans ce cadre. En suivant le formalisme classique des schémas symplectiques, cette décomposition permet de déduire une discrétisation aux différences finies de l'équation des ondes élastiques fondée sur un schéma compact et adapté à l'anisotropie du milieu encodée dans le tenseur de Hooke. À titre de comparaison, l'état de l'art des schémas aux différences finies pour ce problème est constitué du schéma de Virieux dans le cas particulier d'une anisotropie alignée verticalement, et de Lebedev dans le cas général. Le premier est trop restrictif pour les applications envisagées, tandis que le second s'identifie à quatre schémas de Virieux faiblement couplés par les termes hors diagonaux du tenseur de Hooke. Cette structure augmente sensiblement son coût numérique, et le rend sujet à des artefacts en damier. Une autre approche classique de ce problème est l'utilisation d'éléments finis spectraux de degré élevé, développée par un des encadrants ; cependant leur coût numérique est relativement élevé, à cause du degré des polynômes mis en jeu, des matrices de masse à inverser, et car ils souffrent d'une CFL défavorable due à la répartition irrégulière des points de quadrature, ce qui motive la recherche d'alternatives. La thèse porte sur l'étude théorique des propriétés du schéma (ordre de convergence, qualité des relations de dispersion), son implémentation numérique (sur CPU et GPU), et sa mise en œuvre sur des cas test reconnus. Un second volet porte sur l'inversion des inconnues d'anisotropie introduites, via le choix de paramétrisations adéquates et l'identification d'applications pertinentes.

Full-waveform inversion (FWI) seismic tomography consists in comparing physically recorded seismograms with the results of numerical simulations of the wave equation in a fictitious medium. The parameters of this medium are gradually adjusted to match the physical and numerical results, thereby deducing the properties of the subsurface. The number and choice of these parameters is a crucial aspect of modeling : while simplified models are content to reconstruct a propagation velocity, the most general consideration of the anisotropic elastic properties of the medium - resulting from its sedimentary layer composition and tectonic deformations - involves a Hooke tensor with 21 independent coefficients. The use of such a rich model opens the door to accurate reconstructions, but also brings with it a number of numerical difficulties, which are the subject of this PhD project. The main objective is to study and implement a finite difference numerical scheme for the elastic wave equation in general anisotropy, whose effectiveness is based on a decomposition of the Hooke tensor via the Voronoi decomposition of quadratic forms, a novel approach in this context. Following the classical formalism of symplectic schemes, this decomposition allows us to deduce a finite difference discretization of the elastic wave equation based on a compact scheme adapted to the anisotropy of the medium encoded in the Hooke tensor. For comparison, the state of the art in finite difference schemes for this problem consists of the Virieux scheme in the special case of vertically aligned anisotropy, and the Lebedev scheme in the general case. The Virieux scheme is too restrictive for the intended applications, while the Lebedev scheme can be interpreted as four Virieux schemes weakly coupled by the off-diagonal terms of Hooke tensor. This structure significantly increases its numerical cost and makes it prone to checkerboard artifacts. Another classic approach to this problem is the use of high-degree spectral finite elements, developed by one of the supervisors ; however, their numerical cost is relatively high, due to the degree of the polynomials involved, the mass matrices to be inverted, and because they suffer from unfavorable CFL due to the irregular distribution of quadrature points, which motivates the search for alternatives. This PhD project focuses on the theoretical study of the properties of the scheme (convergence order, quality of dispersion relations), its numerical implementation (on CPU and GPU), and its application to recognized test cases. A second part focuses on the inversion of the anisotropy unknowns introduced, via the choice of appropriate parameterizations and the identification of relevant applications.