Distributions Quasi Stationnaires et processus renforcés pour l'étude de modèles cinétiques

Quasi-Stationary Distributions and Reinforced Processes for the Study of Kinetic Models

• Auteur / Autrice : Pierre Germain
• Direction : Julien Reygner, Tony Lelièvre
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École nationale des ponts et chaussées (France ; 1747-....)

Mots clés

Mots clés libres

Probabilités

Processus stochastiques

Algorithmes stochastiques

Probability theory

Stochastic processes

Sotchastic algorithms

Résumé

Ce projet de thèse porte sur l'étude mathématique des distributions quasi-stationnaires (QSD) et de leur lien avec les processus stochastiques renforcés, dans le contexte des modèles cinétiques. Ces travaux s'inscrivent dans la problématique générale des processus métastables, où un système aléatoire reste piégé durant de longues périodes dans certaines régions de l'espace d'état avant de réaliser des transitions rares vers d'autres zones stables. Les distributions quasi-stationnaires constituent un outil fondamental pour décrire le comportement conditionnel d'un processus avant absorption. Pour un processus de Markov tué à un temps d'arrêt, une QSD est une loi invariante pour la dynamique conditionnée à la survie. Elles permettent d'analyser de manière fine la structure des états métastables et les mécanismes de transition, en lien avec les propriétés spectrales du générateur infinitésimal du processus. Dans le cas de domaines bornés, l'existence et l'unicité d'une QSD sont bien établies et associées à l'état propre principal du générateur. En revanche, dans les domaines non compacts, la situation devient beaucoup plus complexe : plusieurs régimes asymptotiques peuvent coexister, conduisant potentiellement à une infinité de QSD. L'objectif central du projet est de caractériser et comprendre les QSD dans des cadres non compacts pour des processus de type Langevin cinétique. Il s'agit notamment de : -construire des exemples explicites de processus cinétiques tués au bord de domaines non bornés admettant plusieurs QSD, et d'analyser le rôle du potentiel dans ce phénomène ; -décrire les bassins d'attraction des QSD via l'étude de flots non linéaire sur l'espace des mesures associés naturellement à l'étude des QSD; -étudier les mécanismes de sélection associés aux algorithmes stochastiques de simulation (de type Fleming–Viot ou renforcement) lorsque l'unicité de la QSD n'est plus garantie. Ces questions soulèvent des problèmes mathématiques à l'interface de la théorie spectrale, de la dynamique des mesures et de la simulation stochastique. Elles visent à étendre le cadre théorique des QSD au-delà du cas compact, à clarifier la structure des dynamiques métastables dans les modèles cinétiques, et à comprendre la convergence ou la sélection de lois stationnaires dans les méthodes de type particulaire ou renforcé.

This PhD project focuses on the mathematical study of quasi-stationary distributions (QSDs) and their relationship with reinforced stochastic processes in the framework of kinetic models. It addresses fundamental questions arising from metastable stochastic dynamics, where a system remains trapped for long times in certain regions before undergoing rare transitions to other stable states. QSDs describe the conditional law of a killed Markov process before absorption. They provide a rigorous framework for understanding metastable states and rare event dynamics, through the spectral properties of the infinitesimal generator. In bounded domains, existence and uniqueness of the QSD are linked to the principal eigenvalue of the generator. In unbounded domains, however, multiple asymptotic regimes may coexist, leading to the possible existence of infinitely many QSDs. The project aims to develop new theoretical results on QSDs for kinetic Langevin processes killed at the boundary of unbounded domains, including: -explicit examples of kinetic processes admitting multiple QSDs, highlighting the influence of the potential's confinement; -a mathematical characterization of attraction basins through nonlinear flow on probability measures -the analysis of selection principles in stochastic algorithms (Fleming–Viot or reinforced processes) when the QSD is non-unique. These problems lie at the intersection of spectral theory, stochastic dynamics, and nonlinear measure evolution. The expected outcomes are a deeper theoretical understanding of QSDs in non-compact settings, a refined description of metastable kinetics, and rigorous insights into the convergence and selection behaviour of stochastic simulation methods.