Investigations métamathématiques dans les lambda-calculs typés pédagogiques

metamathematical investigations into pedagogical typed lambda-calculi

• Auteur / Autrice : Antoine Duong
• Direction : Loic Colson
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2025
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LCOMS - Laboratoire de Conception, Optimisation et Modélisation des Systèmes

Mots clés

Mots clés libres

Lambda-calcul

Constructivisme

Théorie des types

Théorie de la démonstration

Isomorphisme Curry-Howard

Constructivism

Lambda-calculus

Curry-Howard isomorphism

Type theory

Proof theory

Résumé

Les lambda-calculs typés pédagogiques (et les systèmes de déduction naturelle pédagogiques qui leur correspondent au travers de l'isomorphisme de Curry-Howard) sont des modèles de calcul et du raisonnement mathématique dans lesquels une contrainte supplémentaire par rapport aux systèmes de types habituels est imposée: il est demandé à chaque fois que l'on fait un ensemble d'hypothèses (ou que l'on déclare un ensemble de variables) de donner un EXEMPLE de situation où les hypothèses sont vérifiées. Cette contrainte fait écho à la pratique courante dans l'enseignement d'illustrer une situation abstraite par un exemple qui 'aide à se faire une idée' de cette situation abstraite. Actuellement dans les systèmes formels de fondements des mathématiques et de l'informatique aucune contrainte semblable n'existe, on peut donc par exemple supposer 'soit X un cercle rectangulaire', ce qui est stérile car un tel objet n'existe pas. Noter que les programmes de démonstration automatique actuels passent une partie de leur temps à émettre des hypothèses inutiles comme celle-ci. Dès qu'un système logique pédagogique est défini parfaitement formellement des questions très simples se posent: quel est le pouvoir expressif logique et algorithmique de ce système ? La contrainte pédagogique de ce système limite-t-elle la démonstration de théorèmes utiles? Les premiers résultats obtenus ont concerné ces questions fondamentales. Deux thèses ont été soutenues à l'Université de Lorraine. Ce domaine est entièrement nouveau et demande à être développé.

Pedagogical typed lambda-calculi (and the corresponding natural deduction systems through the Curry-Howard isomorphism) are models of computation and of mathematical reasoning in which a new constraint as been added: it is required at each time a set of hypotheses is made (or a set of variables is declared) to provide with an EXAMPLE of a concrete situation where the hypotheses are verified. This constraint is reminiscent from current teaching practice where the act of giving an example can help to understand an abstract setting or situation. Presently in formal systems used in the foundations of mathematics and computer science no such constraint exists: one may for instance suppose 'let X be a rectangular circle'; a sterile hypothesis since no such object exists. Observe that current computer programs of automatic theorem proving spend a good deal of there time to emit such sterile hypotheses. As soon as a pedagogical formal system is defined in details, very simple questions can be asked: what is the logical and algorithmic expressive power of the system ? Does the pedagogical constraint prevents from proving useful theorem ? Thee first results obtained in this area have addressed these fundamental questions. Two theses have been made in University of Lorraine on this subject.