Propagation quantitative du chaos pour les systèmes de particules àchamp moyen ou hétérogènes

Quantitative propagation of chaos for mean-ffeld and heterogeneousparticle systems

• Auteur / Autrice : Yupeng Bai
• Direction : Zhenjie Ren
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2025
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LaMME - Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Probabilités et Mathématiques Financières
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université d'Évry Val d'Essonne

Mots clés

Mots clés libres

Processus stochastiques

Interactions de type champ moyen

Équations de Fokker–Planck

Stochastic processes

Mean-field interactions

Fokker–Planck equations

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des processus stochastiques à interactions de type champ moyen, notamment leur structure mathématique et leur comportement asymptotique. On s'intéresse aux systèmes de particules approchant des équations de Fokker–Planck non linéaires, en analysant la propagation du chaos et la convergence. Les équations de Langevin à champ moyen, en régimes sur-amorti et sous-amorti, sont examinées pour leurs propriétés d'ergodicité et de concentration. Les inégalités fonctionnelles (logSobolev, Talagrand) sont utilisées pour évaluer la convergence vers l'équilibre. Les phénomènes de métastabilité et les événements rares sont abordés via les principes de grandes déviations. L'approche mobilise le calcul stochastique, les systèmes de particules et la probabilité en grande dimension. Le projet vise à éclairer les dynamiques collectives de systèmes complexes, avec une attention particulière à la rigueur mathématique.

This doctoral thesis studies the mathematical structure and long-time behavior of stochastic processes governed by mean-ffeld interactions. We focus on particle systems approximating nonlinear Fokker–Planck equations, investigating propagation of chaos, convergence rates, and ffuctuation limits. Special attention is given to mean-ffeld Langevin equations, in both overdamped and underdamped regimes. We analyze their ergodicity, concentration, and convergence to equilibrium through functional inequalities (e.g., log-Sobolev, Talagrand). We also explore metastability and rare events using large deviation principles. The work relies on tools from stochastic calculus, interacting particle systems, and high-dimensional probability. This research contributes to understanding collective dynamics in complex systems, emphasizing rigorous analysis with possible numerical illustrations.