Calculer la classe d'isogénie d'une variété abélienne sur un corps de nombres

Computing isogeny classes of abelian varieties over number fields

• Auteur / Autrice : Hugo Nartz
• Direction : Emmanuel Thome
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2025
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LORIA - Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : CARAMBA

Mots clés

Mots clés libres

Isogénies

Variétés abéliennes

Algorithmes

Fonctions thêta

Isogenies

Algorithms

Abelian varieties

Theta functions

Résumé

Ce sujet de thèse porte sur les variétés abéliennes, qui sont des analogues (en plus grande dimension) des courbes elliptiques et sont des objets fondamentaux en cryptographie à base d'isogénies et en théorie des nombres. Plus précisément, le sujet porte sur le calcul d'isogénies entre variétés abéliennes polarisées, un élément fondamental de la 'boîte à outils' algorithmique pour les variétés abéliennes, mais qui reste ardu au-delà des courbes elliptiques malgré un long effort de recherche. Dans le cas particulier d'une variété abélienne A définie sur un corps de nombres K (par exemple le corps des nombres rationnels), on sait d'après un célèbre théorème de Faltings que la classe d'isogénie de A sur K, définie comme l'ensemble des variétés abéliennes sur K reliées à A par une isogénie, est un ensemble fini. Le but de la thèse est de développer et implémenter des algorithmes permettant de calculer ces classes d'isogénie. Dans un premier temps, le ou la doctorant(e) sera amené(e) à se familiariser avec une panoplie de techniques qui ont rendu de tels calculs possible pour certaines variétés abéliennes de dimension 2 sur les rationnels (van Bommel, Chidambaram, Costa, Kieffer 2023): arithmétique d'intervalles, fonctions thêta, représentations galoisiennes... Un premier jalon sera de généraliser l'article ci-dessus à un corps de nombres quelconque, à partir de quoi de nombreuses généralisations peuvent être envisagées, par exemple traiter le cas des variétés abéliennes munies d'endomorphismes supplémentaires.

This thesis project is about abelian varieties, which are higher-dimensional analogues of elliptic curves, and are fundamental objects in isogeny-based cryptography and in number theory. More precisely, the project focusses on computing isogenies between polarized abelian varieties. Such isogeny computations are an important member of the algorithmic toolbox for abelian varieties, but remain difficult beyond the elliptic curve case despite sustained research effort. In the particular case of an abelian variety A defined over a number field K (for instance the field of rational numbers), a theorem of Faltings asserts that the isogeny class of A, defined as the set of abelian varieties over K linked to A by an isogeny, is a finite set. The goal of this thesis will be to design and implement algorithms to compute these isogeny classes. At first, the PhD candidate will familiarize themselves with the array of techniques that made such computations possible for certain abelian surfaces in dimension 2 over the rationals (van Bommel, Chidambaram, Costa, Kieffer 2023), namely interval arithmetic, theta functions, and Galois representations. A first goal will be to generalize the above article to other number fields. After that, many possible generalizations could be studied, for instance extending this work to abelian varieties with nontrivial endomorphism rings.