Équivalences dérivées de posets provenant de la théorie du tau-basculement

Derived equivalences of posets arising from tau-tilting theory

• Auteur / Autrice : Marius Goguet
• Direction : Claire Amiot
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2025
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des représentations

Combinatoire

Catégories dérivées

Algèbre homologique supérieure

Representation theory

Combinatorics

Derived categories

Higher homological algebra

Résumé

En théorie des représentations des algèbres de dimension finie, étant donné une telle algèbre A, deux catégories sont d'un intérêt central : d'un côté la catégorie mod A des A-modules de type fini, qui est une catégorie abélienne, et de l'autre la catégorie dérivée (bornée) D(A), qui a une structure naturelle de catégorie triangulée. Alors que la question de savoir à quelle condition deux algèbres ont des catégories de modules équivalentes est peu intéressante dans ce cadre, la question correspondante pour les catégories dérivées est bien plus subtile et féconde, et elle a intéressé de nombreux mathématiciens depuis les années 1980 et donné lieu à la théorie du basculement. À un ensemble ordonné (poset) fini, on peut associer une algèbre de dimension finie, appelée algèbre d'incidence du poset, et donc s'intéresser à la catégorie des modules sur cette algèbre et à sa catégorie dérivée. L'étude de ces catégories dérivées et du lien entre leurs propriétés et les propriétés combinatoires du poset a connu un regain d'intérêt ces dernières années, et beaucoup reste encore à dire à ce sujet. À la fin des années 2000, Ladkani a décrit un procédé combinatoire général, appelé flip-flop, permettant de construire des paires de posets qui sont dérivé-équivalents, et a appliqué ce procédé pour montrer des équivalences dérivées de posets provenant de la théorie des représentations. En particulier, étant donné deux carquois reliés par une réflexion, il montre que les posets de classes de torsion de leurs algèbres de chemins sont reliés par un flip-flop, et donc dérivé-équivalents. Depuis, dans le cadre de la théorie du tau-basculement introduite par Adachi, Iyama et Reiten, le poset des classes de torsion d'une algèbre de dimension finie a été relié à de nombreux autres posets d'objets apparaissant en théorie des représentations, comme les paires paires tau-basculantes, les objets silting à deux termes, les objets amas-basculants dans une catégorie 2-Calabi-Yau... Un des premiers objectifs du projet de thèse serait de généraliser le résultat de Ladkani à des algèbres non-héréditaires, en tirant profit des différents avatars du poset des classes de torsion. Dans un second temps, on pourra s'intéresser à trouver des généralisations de ce phénomène dans le cadre de l'algèbre homologique supérieure, un domaine introduit par Iyama et qui a été beaucoup développé au cours des quinze dernières années. En particulier, on pourra calculer (notamment à l'aide de SAGE) des exemples en considérant les algèbres d'Auslander supérieures de type A, qui présentent de bonnes propriétés homologiques et qui admettent des descriptions combinatoires.

In the representation theory of finite dimensional algebras, given such an algebra A, two categories play a central role: the category mod A of finitely generated A-modules, which is abelian, and the (bounded) derived category D(A), which admits a natural triangulated structure. The question of determining when two algebras have equivalent module categories is not very interesting in this setting, but the corresponding question for derived categories is much more subtle and fertile. Indeed, it has interested many mathematicians since the 1980s, and gave rise to tilting theory. To a finite partially ordered set (poset), one can associate a finite dimensional algebra, which is called its incidence algebra. This leads to considering the category of modules over this algebra and its derived category. The study of these derived categories and the link between their properties and combinatorial properties of posets has gained interest in the last few years, and a lot is left to be said about them. In the late 2000s, Ladkani described a general combinatorial process, called a flip-flop, which allows to construct pairs of derived-equivalent posets. He applied this process to show derived equivalences of posets arising in representation theory. In particular, he showed that given two quivers related by a reflection, the posets of torsion classes of their path algebras are related by a flip-flop, hence the posets are derived-equivalent. Since then, in the framework of tau-tilting theory introduced by Adachi, Iyama and Reiten, the poset of torsion classes has been linked to several other posets of objects appearing in representation theory, such as tau-tilting pairs, two-term silting complexes, cluster-tilting objects in a 2-Calabi-Yau category... The first aim of this PhD project is to generalise Ladkani's result to non-hereditary algebras, by taking advantage of the different incarnations of the poset of torsion classes. We could then try to find generalisations of this phenomenon in the framework of higher homological algebra, a domain that was introduced by Iyama and developed in the last fifteen years. In particular, we could try to compute examples (using SAGE) involving higher Auslander algebras of type A, which have nice homological properties and combinatorial descriptions.