Algorithmes efficaces pour les relations algébriques structurées

Fast algorithms for structured algebraic relations

• Auteur / Autrice : Sara Khichane
• Direction : Vincent Neiger
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences de l'ingénieur
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2025
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Lip6 (1997-....)

Mots clés

Mots clés libres

Algorithmes algébriques

Complexité

Calcul formel

Algèbre linéaire structurée

Algebraic algorithms

Complexity

Computer algebra

Structured linear algebra

Résumé

Un problème courant en science est de découvrir les relations entre les objets. Ces relations peuvent être dissimulées dans de vastes ensembles de données ou être caractérisées par des descriptions implicites sous forme d'équations. C'est dans ce cadre, que le problème fondamental de ce projet est posé. Il trouve ses origines dans les travaux fondateurs d'Hermite et de Padé au XIXe siècle. À partir de là, ce problème de reconstruction de relations et ses algorithmes associés ont connu divers développements en calcul algébrique. Des instances de grande complexité, nécessitant des algorithmes et des implémentations d'efficacité quasi-optimale, sont fournies par exemple par les approches de conjecture-et-vérification en combinatoire ou les problèmes d'interpolation multivariée en théorie des codes. Dans ces cas, les équations descriptives impliquent des structures supplémentaires, telles que des puissances itérées ou des dérivées, parfois sur plusieurs niveaux imbriqués. Bien que les algorithmes de pointe récents pour les relations non-structurées soient satisfaisants en termes de complexité algorithmique, ils demeurent insensibles aux structures additionnelles mentionnées ci-dessus. Pour cette raison, les meilleures bornes de complexité connues sont loin d'être linéaires lorsqu'elles sont appliquées aux équations structurées. Ce projet vise à réduire cet écart en introduisant de nouvelles approches algorithmiques et des techniques pour exploiter ces structures. Cela implique le développement d'un cadre méthodologique flexible pour la conception d'algorithmes efficaces pour des tâches fondamentales en algèbre informatique ; incluant notamment les calculs matriciels à structures multiniveaux, les matrices polynomiales univariées structurées, et certains types d'idéaux polynomiaux multivariés.

A common problem in science is to discover relations between objects. These relations are sometimes hidden inside a big amount of data, or can be known through an implicit description such as equations that define them. This project tackles a fundamental problem in the latter vein, which originates from seminal works of Hermite and Padé in the XIXth century. Since then, this relation reconstruction problem and algorithms for it have seen various developments in algebraic computations. Instances of challenging sizes, requiring algorithms and implementations whose efficiency is as close as possible to optimal, are provided for example by guess-and-prove approaches in combinatorics or multivariate interpolation problems in coding theory. In these cases, the describing equations involve additional structures, such as iterated powers or derivatives, sometimes on multiple nested levels. While recent state-of-the-art algorithms for unstructured relations are satisfactory in terms of computational complexity, they are oblivious to the above-mentioned additional structures, and for this reason, the best known complexity bounds are far from linear when applied to structured equations. This project aims to bridge this gap by introducing new algorithmic ideas and techniques for exploiting these structures. This entails the development of a versatile framework for the design of faster algorithms for fundamental tasks in computer algebra; targets include computations with matrices that have multiple levels of structures, with structured univariate polynomial matrices, and with certain types of multivariate polynomial ideals.