Algorithmes pour le calcul de bases lexicographiques d'idéaux polynomiaux: plus grande généralité et meilleure complexité

Algorithms for lexicographic bases of polynomial ideals: wider applicability and better complexity

• Auteur / Autrice : Hugo Passe
• Direction : Jérémy Berthomieu
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2025
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6

Mots clés

Mots clés libres

Calcul formel

Bases de Gröbner

Matrices polynomiales

Algèbre linéaire structurée

Polynômes bivariés

Computer algebra

Gröbner bases

Polynomial matrices

Structured linear algebra

Bivariate polynomials

Résumé

Deux problèmes connexes et fondamentaux dans le domaine du calcul formel, avec de nombreuses applications dans d'autres domaines, sont la résolution de systèmes polynomiaux multivariés et le calcul des bases de Gröbner. Cette résolution consiste à trouver les racines communes de polynômes en n variables, typiquement par le biais d'une base de Gröbner de l'idéal engendré par ces polynômes. Ces bases dépendent de l'ordre dont on munit l'ensemble des monômes. Une base pour l'ordre lexicographique (LEX) permet alors de déterminer les solutions en énumérant leurs coordonnées. Cependant, il est plus efficace de calculer une base pour un ordre raffinant le degré (DRL). Lorsque l'idéal est de dimension zéro, ce qui signifie que le système a un nombre fini D de solutions, une stratégie courante consiste à calculer d'abord une base DRL, puis à utiliser un algorithme de changement d'ordre pour obtenir une base LEX. Cette deuxième étape peut être réalisée via de l'algèbre linéaire par l'algorithme FGLM avec une complexité en O(nD^3). Dans certains cas, l'étape de changement d'ordre est la plus coûteuse de l'ensemble du processus. Ce projet se focalise sur deux axes de recherche principaux, avec l'objectif d'accélérer le calcul de la base LEX (ou de formes équivalentes) tout en limitant le recours à des hypothèses habituellement faites sur l'entrée. Pour le changement d'ordre, une hypothèse de ''stabilité'' permet d'atteindre une complexité sous-cubique en D grâce à l'usage d'algèbre linéaire rapide pour le calcul de matrices de multiplication. Sans cette stabilité, on s'intéressera à calculer ces matrices de multiplication plus rapidement que O(nD^3). Une autre hypothèse courante est appelée position ''shape'' et assure que la base LEX peut être obtenue par des calculs qui n'impliquent qu'une seule matrice de multiplication et, en supposant également la stabilité, ces calculs peuvent bénéficier d'algèbre linéaire creuse ou polynomiale. Nous étudierons le calcul rapide de la base LEX dans le cas où seule l'hypothèse de position shape est satisfaite. Enfin, lorsque le corps de base est celui des nombres rationnels, il faut prendre en compte dans la complexité l'augmentation de la taille des coefficients au cours des calculs. Nous étudierons le cadre de l'approche multi-modulaire et la conception d'un algorithme qui parviendrait à réutiliser les informations trouvées lors des premiers calculs modulaires pour accélérer tous les suivants.

Two related problems that have proved to be fundamental in the field of computer algebra, with applications in many other domains, are those of multivariate polynomial system solving and Gröbner basis computations. The former problem asks to find the common roots of a given set of polynomials in n variables; such roots are typically accessed through a Gröbner basis of the ideal generated by these polynomials. Such bases depend on how we order the set of monomials. The basis for the lexicographic order (LEX) roughly allows one to determine the coordinates of the solutions one by one. However, it is computationally more efficient to compute the basis using a degree-refining order (DRL). When the ideal is zero-dimensional, meaning that the system has a finite number D of solutions, a common strategy is to first compute the DRL basis and then use a change of order algorithm to obtain a LEX basis. This second step can be performed via linear algebra by the FGLM algorithm of complexity O(nD^3). In certain situations, the change of order step is a bottleneck in the efficiency of the whole process. This project focuses on two main research axes, with the aims of accelerating the computation of the LEX basis (or equivalent forms of it) while avoiding as much as possible assumptions often made on the input. Regarding the change of order, the ''stability'' assumption allows for sub-cubic complexity in D thanks to the use of fast linear algebra to compute the multiplication matrices. We are interested in improving the complexity O(nD^3) without the stability assumption. Another hypothesis is called ''shape position'' and ensures that the LEX basis can be computed by using only one multiplication matrix. If one further assumes stability, the latter computations can also benefit from fast sparse or polynomial linear algebra. We will study the case where only the shape position assumption is satisfied. Finally, when the base field is that of rational numbers, one has to incorporate into the complexity aspects the fact that coefficients typically grow during the computations. We will focus on the multi-modular approach and the design of an algorithm that can reuse the information found during the previous modular computations to speed up the remaining ones.