Fondements mathématiques des sémantiques squelettiques

Mathematical Foundations of Skeletal Semantics

• Auteur / Autrice : Robin Jourde
• Direction : Tom Hirschowitz
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2025
• Etablissement(s) : Chambéry
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des langages de programmation

Sémantique opérationnelle

Sémantique dénotationnelle

Théorie des catégories

Programming Languages Theory

Operational Semantics

Denotational Semantics

Category Theroy

Résumé

Ce projet de thèse se situe à l'interface de deux approches de spécification des langages de programmation : une approche pratique, représentée par le langage Skel, et une approche théorique, fondée sur la théorie des catégories. L'objectif principal est de combler le fossé entre ces deux mondes, en apportant un fondement mathématique rigoureux à Skel, tout en explorant les possibilités de certification formelle de ses outils. 1. Approche squelettique (Skel) Skel est un langage de méta-programmation pour spécifier des langages objets. Il permet, à partir de déclarations de types (syntaxiques) et de valeurs (sémantiques), de générer automatiquement un évaluateur certifié, un interpréteur abstrait, ainsi qu'une formalisation Coq/Rocq. Skel a été utilisé pour modéliser des sous-ensembles de JavaScript et Python. Cependant, cette approche reste dénuée de fondement mathématique solide. 2. Approche catégorique Cette approche, plus abstraite, décrit les langages objets via des structures catégoriques complexes : un distributeur 𝜕 : C₁ → C₀ définit les relations entre catégories syntaxiques ; des 𝜕-graphes (généralisation des graphes) sont formés à partir de préfaisceaux sur ces catégories ; la syntaxe est donnée par un endofoncteur F₀ sur une catégorie de préfaisceaux, la sémantique par un endofoncteur F₁ sur une catégorie d'algèbres associée. Le langage est modélisé comme l'algèbre initiale de F₁. Cette approche offre une rigueur théorique mais manque d'outils logiciels concrets. 3. Objectif de la thèse L'ambition est double : Formaliser Skel en l'interprétant via les outils de la théorie des catégories ; Certifier Skel dans l'assistant de preuve Rocq, en produisant une version mathématiquement fondée, même si potentiellement moins expressive. 4. Méthodologie 3.1 Esquisse de l'approche catégorique Elle distingue syntaxe (via F₀) et sémantique (via F₁) sur les 𝜕-graphes. La structure syntaxique est enrichie pour permettre la définition opérationnelle. 3.2 Interprétation catégorique de Skel Les types de Skel sont vus comme des préfaisceaux, les déclarations de valeurs comme des endofoncteurs sur des catégories algébriques. Un défi majeur est la non-compositionalité de cette interprétation. Une solution proposée est de représenter Skel comme une monade T_Skel, où les déclarations de valeurs deviennent un système d'équations récursives. Il s'agira ensuite de relier ces équations aux endofoncteurs et à leurs algèbres initiales. 3.3 Interprétation abstraite On souhaite aussi intégrer la génération d'interpréteurs abstraits dans ce cadre théorique. Cela pose des défis liés à la finitude des modèles abstraits. La théorie des domaines synthétiques pourrait fournir un cadre pertinent. L'idée est de montrer que les interpréteurs abstraits sont des F₁-algèbres, donc spécifiables par universalité. Reste à élucider le rôle des fonctions de « concrétisation » utilisées dans Skel. 3.4 Vers une version certifiée de Skel Une fois l'interprétation catégorique stabilisée, l'enjeu est de transposer Skel dans Rocq, un assistant de preuve non Turing-complet. Cela suppose de simplifier certaines constructions catégoriques (par ex. via les foncteurs polynomiaux), compatibles avec le calcul des constructions inductives de Rocq. Deux écueils majeurs sont identifiés : la traduction des structures catégoriques complexes (fondées sur des théories ensemblistes) dans Rocq ; l'efficacité des évaluateurs produits, nécessitant un soin particulier au contenu calculatoire. Le projet s'inspirera de travaux comme CompCert. Conclusion Ce projet vise à renforcer la cohérence mathématique et la fiabilité de Skel tout en rapprochant les pratiques de spécification des langages de leur fondement théorique. Il se veut à la fois contribution méthodologique, théorique et logicielle.

This PhD project lies at the intersection of two approaches to programming language specification: a practical one, represented by the Skel language, and a theoretical one, grounded in category theory. The main goal is to bridge these two approaches by providing Skel with a rigorous mathematical foundation, while also exploring the possibility of formally certifying its tools. 1. Skeletal Approach (Skel) Skel is a meta-language used to specify object languages. It allows, via type declarations (for syntax) and value declarations (for semantics), the automatic generation of a certified evaluator, an abstract interpreter, and a Coq/Rocq formalization. Skel has been applied to model subsets of JavaScript and Python. However, it lacks a solid mathematical foundation. 2. Categorical Approach This more abstract approach describes object languages using complex categorical structures: a distributor 𝜕: C₁ → C₀ defines relations between syntactic categories; 𝜕-graphs, generalizations of graphs, are built using presheaves over these categories; the syntax is modeled by an endofunctor F₀ on a presheaf category, the semantics by an endofunctor F₁ on a related category of algebras. The language is defined as the initial algebra of F₁. This approach offers theoretical rigor but lacks practical tooling. 3. Thesis Objective The dual ambition of this thesis is: to formalize Skel by interpreting it using categorical tools; to certify Skel within the Rocq proof assistant, producing a mathematically grounded version—though potentially less expressive. 4. Methodology 3.1 Outline of the Categorical Approach It separates syntax (via F₀) and semantics (via F₁) on 𝜕-graphs. Syntax is enriched with algebraic structure to support operational semantics. 3.2 Categorical Interpretation of Skel Skel's type declarations are interpreted as presheaves; its value declarations, as endofunctors on algebraic categories. A key challenge lies in the non-compositionality of this interpretation. To address this, Skel may be modeled as a monad T_Skel on (𝜕, F₀)-alg, with value declarations viewed as recursive equation systems. These must then be related to their induced endofunctors and initial algebras. 3.3 Abstract Interpreters The goal is to extend the categorical framework to the generation of abstract interpreters. The challenge lies in modeling finite abstract domains categorically. The synthetic domain theory of Hyland and Sterling offers a potential foundation. The aim is to show that abstract interpreters are F₁-algebras, defined by initiality. The role of “concretization” functions used in Skel still needs to be clarified in this framework. 3.4 Towards a Certified Version of Skel Once Skel is categorically grounded, the next step is to rewrite it entirely in the Rocq proof assistant. However, this certified version will be necessarily less expressive: Rocq is not Turing-complete, unlike OCaml. The benefit lies in a better-understood, formally verified tool. Implementing categorical constructs in Rocq is nontrivial—especially those involving accessible and locally presentable categories, which rely on set-theoretic notions difficult to represent in Rocq's type theory. A possible solution is to restrict to polynomial functors, which are translatable into Rocq and allow inductive computation of free algebras. Another challenge concerns computational efficiency. Will interpreters automatically generated by Rocq be performant enough? This requires attention to computational content throughout development, drawing inspiration from projects like CompCert. Conclusion This project aims to strengthen the theoretical soundness and reliability of Skel by reconciling practical language specification tools with categorical semantics. It promises contributions to theory, methodology, and software alike.