Le problème de borsuk à travers les polyèdres de reuleaux et les matroïdes

The borsuk problem through reuleaux polyhedra and matroids

• Auteur / Autrice : Gyivan Lopez Campos
• Direction : Jorge Luis Ramírez Alfonsín, Déborah Oliveros Braniff
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 21/08/2025
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....) en cotutelle avec Universidad nacional autónoma (Mexico)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Shalom Eliahou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jorge Luis Ramírez Alfonsín
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ferenc Fodor, Marton Naszodi
• DOI : 10.70675/9625990az6cfez4493z9b11za80127f35f6c

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matroïdes

Polyèdres

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Borsuk

Reuleuax

Matroïdes

Largeur constante

Diamètres

Borsuk

Reuleuax

Matroids

Constant width

Diameters

Résumé

Les objectifs principaux cette thèse sont d'étudier les deux problèmes suivants: -Équivalence de Borsuk en dimension 3: fournir une caractérisation des ensembles bornés dans R^3 ayant un nombre de Borsuk égal à 4. -Nombre de Borsuk et matroïdes : étudier le problème de Borsuk du point de vu combinatoire en considérant les polytopes de bases d'un matroïde. Le chapitre 1 contient des définitions et des résultats préliminaires qui seront utiles pour la thèse. Dans le Chapitre 2, nous traitons le problème de l’équivalence de Borsuk en dimension 3. Ce problème est motivé par la caractérisation de Boltyanski des ensembles dans un espace de Banach à deux dimensions ayant un nombre de Borsuk égal à 3 (c'est-à-dire atteignant le maximum). Il a prouvé que chaque ensemble borné n'est pas l'union de deux ensembles de diamètre plus petit si et seulement si il possède une complétion en un corps de largeur constante. Malheureusement, le même argument ne fonctionne pas dans R^3 pour les ensembles ayant un nombre de Borsuk égal à 4. Par exemple, l'ensemble des quatre sommets du tétraèdre régulier a un nombre de Borsuk égal à 4, mais sa complétion en un corps de largeur constante n'est pas unique. Nous donnons ensuite le résultat principal de ce chapitre qui assert qu'un ensemble fini de points V dans R^3 a un nombre de Borsuk égal à 4 si et seulement si V possède un sous-ensemble extrémal pour le problème de Vázsonyi, ou encore, de manière équivalente, si et seulement si V possède un sous-ensemble qui couvre un polyèdre de Reuleaux. Le chapitre 3 est dédié à l'étude du problème de Borsuk lié aux matroïdes. Le problème de trouver une solution au problème de Borsuk dans des dimensions comprises entre 4 et 63 est bien sûr le problème naturel sur lequel travailler. Nous partageons plutôt l'idée que la conjecture de Borsuk est fausse pour toutes les dimensions supérieures à 3. Notre raisonnement est que nous sommes assez sûrs qu'il existe un polytope de Reuleaux (une généralisation des polyèdres de Reuleaux) dans R^4, dont les sommets seraient le contre-exemple souhaité. Cependant, nous n'avons pas pu le trouver. Nous avons donc concentré notre attention sur le contre-exemple original de Jeff Kahn et Gil Kalai afin de voir si nous serions capables d'utiliser des techniques similaires pour construire de nouveaux contre-exemples. Nous avons découvert que le contre-exemple avait été construit en utilisant uniquement des vecteurs canoniques dans R^d avec le même poids, ce qui rend naturel de restreindre le problème de Borsuk à ces ensembles de points et de se demander si le problème de Borsuk est vrai avec cette restriction. Ce problème est connu sous le nom de problème de Borsuk 0/1. Plusieurs articles ont étudié ce problème, et autant que nous sachions, le problème de Borsuk 0/1 est vrai pour les dimensions d<10 et faux pour les dimensions d>560, de sorte qu'il existe une possibilité de trouver des contre-exemples dans les dimensions de 10 à 63 pour le problème de Borsuk 0/1, ce qui permettrait de résoudre partiellement le problème de Borsuk pour certaines dimensions manquantes, réduisant ainsi l'écart entre les dimensions où la conjecture est vraie et celles où elle est fausse. Afin de répondre à ce problème, nous introduissons la propriété d'intersection des bases d'un matroïde. Nous démontrons que si un matroïde (connexe) ou son dual ont la propriété d'intersection des bases alors il a la propriété de Borsuk. Ce dernier est étroitement lié à le nombre chromatique des graphes de Kneser. Nous démontrons également que tout matroïde de rang 2 et certains matroïdes spéciaux de rang 3 ont la propriété Borsuk. Enfin, deux classes infinies de matroïdes vérifiant la propriété d'intersection de bases et satisfaisant la propriété de Borsuk sont présentées. Dans le Chapitre 4, nous présentons quelques conclusion, des questions ouvertes et des pistes de travail futur liés aux problèmes traités dans les chapitres précédents.

The main objectives of this thesis are to study the following two problems: -Borsuk equivalence in dimension 3: to provide a characterization of bounded sets in R^3 with a Borsuk number equal to 4. -Borsuk number and matroids: to study the Borsuk problem from a combinatorial perspective by considering the base polytopes of a matroid. In Chapter 1, we introduce and discuss the necessary concepts in graph theory, convexity and the Borsuk problem. In Chapter 2, we address the problem of Borsuk equivalence in dimension 3. This problem is motivated by Boltyanski's characterization of sets in a two-dimensional Banach space with a Borsuk number equal to 3 (i.e., reaching the maximum). He proved that a bounded set cannot be the union of two sets of smaller diameter if and only if it has a completion as a body of constant width. Unfortunately, the same argument does not hold in R^3 for sets with a Borsuk number equal to 4. For example, the set of the four vertices of a regular tetrahedron has a Borsuk number equal to 4, but its completion as a body of constant width is not unique. Hujter and Lángi provided all the configurations of such sets up to 7 points and noted, and we quote: “A complete characterization of the Borsuk number of finite sets in R^3, even for those with 4, seems hopeless.” We present the main result of this chapter, which states that a finite set of points V in R^3 has a Borsuk number equal to 4 if and only if V contains an extremal subset for the Vázsonyi problem, or equivalently, if and only if V contains a subset that covers a Reuleaux polyhedron. Finally, we provide some results on the Borsuk number of the shadow of the boundaries of bodies of constant width. Chapter 3 is dedicated to studying the Borsuk problem in relation to matroids. The natural question would be to find a solution to the Borsuk problem in dimensions between 4 and 63. We lean toward the idea that Borsuk’s conjecture is false in all dimensions higher than 3. Our reasoning is that we are fairly confident that there exists a Reuleaux polytope (a generalization of Reuleaux polyhedra) in R^4 whose vertices would form the desired counterexample. However, we have not been able to find it. We therefore focused our attention on the original counterexample by Jeff Kahn and Gil Kalai to see if we could use similar techniques to construct new counterexamples. We discovered that the counterexample was built using only canonical vectors in R^d with the same weight, which naturally leads to restricting the Borsuk problem to such point sets and asking whether the Borsuk problem holds under this restriction. This is known as the 0/1-Borsuk problem. Several papers have studied this problem, and as far as we know, the 0/1-Borsuk problem is true for dimensions d < 10 and false for dimensions d>560, meaning there is a possibility of finding counterexamples in dimensions 10 through 63, which could partially resolve the Borsuk problem for some missing dimensions, thus narrowing the gap between the dimensions where the conjecture is true and where it is false. In order to answer this problem, we introduce the base intersection property of a matroid. We prove that if a (connected) matroid or its dual has the base intersection property, then it satisfies the Borsuk property. This is closely related to the chromatic number of Kneser graphs. We also show that all matroids of rank 2 and certain special matroids of rank 3 satisfy the Borsuk property. Finally, we present two infinite classes of matroids that satisfy the base intersection property and also the Borsuk property. In Chapter 4, we present some conclusions, open questions, and future research directions related to the problems addressed in the previous chapters.