Résolution dans un cadre de calcul haute performance de problèmes de ''point-selle'' issus de la mécanique du contact entre structures déformables

Solving saddle-point problems from contact mechanics of deformable structures in HPC context

• Auteur / Autrice : Vincent Robert
• Direction : Pierre Jolivet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6

Mots clés

Mots clés libres

Calcul haute performance

Point-selle

Mécanique du contact

Préconditionnement

Hpc

Saddle-point problems

Contact mechanics

Preconditioner

Résumé

Dans le domaine de la mécanique des structures, les systèmes simulés impliquent souvent des structures déformables qui peuvent entrer en contact. Ceci se traduit généralement dans les modèles numériques par des contraintes cinématiques sur l'inconnue du problème (le champ de déplacement), traitées par l'introduction d'inconnues duales qui assurent le respect de la non-interpénétration des structures qui entrent en contact. Ceci conduit à la résolution de systèmes linéaires de point-selle pour laquelle la matrice est indéfinie et creuse. Dans le cadre du calcul parallèle haute-performance, on se tourne vers des méthodes de résolution itératives, qui peuvent, au contraire des méthodes directes, rester performantes pour des modèles numériques très raffinés lorsqu'on utilise un très grand nombre de processeurs de calcul en parallèle, à condition d'être soigneusement conçues et /ou adaptées au problème traité. Alors que la résolution par des méthodes itératives de systèmes linéaires définis positifs (obtenus en l'absence de contraintes cinématiques) est relativement bien maîtrisée, la résolution de problèmes linéaires de point-selle reste une difficulté majeure. Une littérature relativement abondante propose des méthodes itératives pour le traitement du « problème de Stokes » emblématique de la mécanique des fluides incompressibles, mais le cas des problèmes de point-selle issus de contraintes de contact entre structures déformables est un problème toujours relativement ouvert. La thèse consiste à proposer des méthodes itératives adaptées à la résolution de systèmes linéaires de point-selle issus de problèmes de contact en structures déformables, afin de permettre de traiter efficacement des modèles numériques de grande envergure. Les systèmes linéaires cible ont une taille de plusieurs centaines de millions d'inconnues, distribués sur plusieurs milliers de processeurs, et ne peuvent à ce jour pas être résolus efficacement, ni par des méthodes directes, ni par des méthodes itératives préconditionnées basiques. On s'attachera en particulier à valider l'approche proposée par Frédéric Nataf et Pierre-Henri Tournier et à l'adapter au cas où les contraintes n'agissent pas sur l'intégralité des inconnues primales.

In the field of structural mechanics, simulated systems often involve deformable structures that can come into contact. This is usually reflected in numerical models by cinematic constraints on the unknown of the problem (the displacement field), treated by the introduction of dual unknowns that ensure respect for the non-interpenetration of the structures coming into contact. This leads to the resolution of linear saddle-point systems for which the matrix is both undefined and sparse. In the context of high-performance parallel computing, we turn to iterative solvers, which can, unlike direct methods, remain efficient for very refined digital models when a large number of computing processors are used in parallel, provided that they are carefully designed and/or adapted to the problem being treated. While the resolution by iterative methods of positive definite linear systems (obtained in the absence of cinematic constraints) is relatively well mastered, the resolution of linear saddle-point problems remains a major difficulty. A relatively abundant literature offers iterative methods for the treatment of the emblematic «Stokes problem» of incompressible fluid mechanics, but the case of saddle-point problems resulting from contact stresses between deformable structures is still relatively open. The thesis consists in proposing iterative methods adapted to the resolution of linear saddle-point systems resulting from contact problems in deformable structures, in order to allow efficient treatment of large-scale numerical models. Linear target systems have a size of several hundred million unknowns, distributed over several thousand processors, and cannot be solved effectively by direct methods or basic preconditioned iterative methods. We will focus in particular on validating the approach proposed by Frédéric Nataf and Pierre-Henri Tournier and adapting it to the case where constraints do not act on the totality of primary unknowns.