Programmation mathématique avec contraintes d'équilibre : modèles et algorithmes pour l'optimisation non convexe

Mathematical programming with equilibrium constraints: models and algorithms for nonconvex optimization

• Auteur / Autrice : Antonio Martins sasaki
• Direction : Valentina Sessa, Sophie Demassey
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Contrôle, optimisation, prospective
• Date : Inscription en doctorat le 05/12/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et Systèmes
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : CMA - Centre de Mathématiques Appliquées
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Mines Paris-PSL

Mots clés

Mots clés libres

Optimisation non-convexe

Programmation mathématique

Contraintes d'équilibre

Nonconvex optimization

Mathematical programming

Equilibrium constraints

Résumé

Un problème de programmation mathématique avec contraintes d'équilibre (MPEC) est un problème d'optimisation dans lequel les contraintes incluent des restrictions de complémentarité ou des inégalités variationnelles paramétriques. Le terme fait référence aux phénomènes d'équilibre qui se manifestent dans un large éventail d'applications pratiques en ingénierie et en économie. En effet, l'équilibre correspond, aussi bien en physique qu'en théorie des jeux, à un état d'énergie minimum, et les conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) se traduisent par des contraintes complémentaires. Ainsi, les MPEC apparaissent comme des reformulations KKT de programmes bi-niveaux, aussi appelés programmes mathématiques avec contraintes d'optimalité. Certaines classes de problèmes d'optimisation non convexe, comme le programme quadratique standard ou en classification supervisée, sont également considérées comme des MPEC à travers leurs reformulations KKT. Enfin, MPEC peut être considéré comme un cas particulier de la programmation disjonctive, mettant en avant sa nature combinatoire. Ainsi, la formulation MPEC est adaptée à de nombreuses applications et a fait précédemment l'objet de nombreuses études, notamment dans le cas de fonctions linéaires. Même dans cette forme la plus simple, les modèles MPEC sont généralement difficile à résoudre, car, sans restriction supplémentaire, l'ensemble réalisable est non convexe et n'a pas la régularité des qualifications de contraintes standard. Les approches de résolution existantes cherchent à exploiter la structure spécifique des contraintes complémentaires pour obtenir des certificats d'optimalité locaux ou globaux ou pour accélérer la convergence des algorithmes numériques vers des points stationnaires. Pour beaucoup, ces algorithmes sont théoriquement des solveurs MPEC polyvalents, mais ils ne s'appliquent efficacement, en pratique, qu'à des contextes spécifiques. Ainsi, la robustesse est un des principaux enjeux actuels. En particulier, les MPEC à grande échelle sont exigeants en temps de calcul en raison de leur nature combinatoire et nécessitent des algorithmes plus évolutifs. L'objectif de cette thèse est double : - Analyser et acquérir une vue générale et précise des algorithmes numériques et combinatoires existants pour les MPECs en effectuant une revue de littérature exhaustive à travers les différentes applications dans divers domaines (contrôle, recherche opérationnelle, théorie des jeux, apprentissage supervisé) et les avancées récentes dans les domaines connexes (programmation bi-niveau et disjonctive, méthodes intérieures et séquentielles-LP/QP, etc.); - Étudier le cas non linéaire et développer de nouvelles solutions pour des classes de problèmes d'optimisation non convexes difficiles -- y compris, le programme quadratique fractionnaire standard et certains programmes bi-niveau non linéaires et discrets avec des propriétés de dualité appropriées -- en appliquant aux modèles MPEC une combinaison de techniques issues de différents paradigmes, de l'optimisation lisse et discrète à l'apprentissage automatique.

A mathematical programming problem with equilibrium constraints (MPEC) is an optimization problem in which the constraints include complementarity restrictions or parametric variational inequalities. The term equilibrium refers to certain phenomena of balance that frequently manifest in a wide range of practical applications in engineering and economy. As a matter of fact, an equilibrium corresponds, both in physics or in game theory, to a minimum energy state, and Karush-Kuhn-Tucker (KKT) optimality conditions translate to complementary constraints. As such, MPECs appear as KKT reformulations of bilevel programs, also known as mathematical programs with optimization constraint. Certain classes of nonconvex optimization problems, such as the standard quadratic program or in supervised classification, are also examined through their KKT reformulations as MPECs. Finally, MPEC can be viewed as a special issue of a disjunctive program, showing off its combinatorial nature. All in all, MPEC is suitable for numerous applications and it has thus been the subject of many studies. Most of the literature tackles the case with linear functions. Even this simplest case is challenging to solve, as, with no further restriction, the feasible set is nonconvex and lacks the regularity of standard constraint qualifications. Existing solution approaches seek to exploit the specific structure of the complementary constraints to obtain local or global optimality certificates or to accelerate the convergence of numerical algorithms to stationary points. While some are theoretically all-purpose MPEC solvers, these algorithms apply efficiently, in practice, only to specific contexts. Thus, there is an ongoing research into more robust algorithms. In particular, large-scale MPECs are computationally demanding due to their combinatorial nature and call for more scalable algorithms. The object of this thesis is twofold: - To analyze and acquire a general and precise view of the existing numerical and enumerative algorithms for MPECs by conducting a comprehensive literature review through the different applications in various fields (control, operations research, game theory, supervised learning) and the recent advances in related domains (bilevel and disjunctive programming, interior and sequential-LP/QP methods, etc.); - To investigate the nonlinear case and develop novel solutions for classes of challenging nonconvex optimization problems -- including the Standard Fractional Quadratic Program and certain integer-nonlinear bilevel programs with suitable duality properties -- based on solving their MPEC reformulations with a combination of techniques from different paradigms, such as smooth and discrete optimization or machine learning.