Graphes quantiques

Quantum graphs

• Auteur / Autrice : Gian Luca Spitzer
• Direction : Adrian Tanasa, Ion Nechita
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 01/12/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Combinatoire et algorithmiques

Mots clés

Mots clés libres

Quantum graphs

Combinatorics

Non-local games

Graphes quantiques

Combinatoire

Jeux non-locaux

Résumé

La notion de graphes non-commutative (ou de graphes quantiques) a été introduite pour la première fois dans par Duan et. al. en 2012 dans le but de généraliser une notion en théorie de Shannon. Comme analogue au fait que les graphes classiques sont des relations symétriques non-réflexives, Weaver (2021) a formulé les graphes quantiques comme des relations quantiques symétriques réflexives. A la suite de ces travaux, Musto et. al. ont formulé les graphes quantiques finis comme des opérateurs d'adjacence sur des ensembles quantiques finis. De manière très surprenante, ces trois points de vue différents mènent aux mêmes objets, les graphes quantiques, le point central de ce sujet. Notre sujet vise à définir et à étudier d'autres propriétés des graphes quantiques, comme la connectivité, des problèmes de coloriage, etc. Ces questions sont liées de manière fondamentale à des problèmes centraux en théorie quantique de l'information. L'approche initiale de Duan et. al. partait de l'observation qu'un canal quantique (une application linéaire complètement positive qui préserve la trace) défini de manière naturelle un graphe quantique. L'étude de ce graph permet, comme dans le cas classique, de calculer la capacite de ce canal a transmettre parfaitement (sans erreur, donc sans besoin d'un schéma encodage / décodage) l'information (classique ou bien quantique). Ce fut un premier cas particulier ou l'analogue des propriétés classiques d'un graphe quantique présente un intérêt en informatique. Notre but c'est d'aller au-delà de ces premiers exemples pour dresser un dictionnaire plus complet des propriétés combinatoires entre les graphes classiques et quantiques, toujours en ayant à l'esprit les applications en physique théorique, en théorie quantique de Shannon, ou bien théorie des systèmes quantiques ouverts via l'étude des canaux quantiques. En plus d'une étude théorique des propriétés des graphes quantiques, nous allons étudier la possibilité de définir des versions quantiques d'autres objets en informatique, comme les cartes combinatoires. Cette manière de procéder s'est montrée très fructueuse dans des circonstances similaires en combinatoire, par exemple dans le cas des carres latins quantiques et dans la version quantique du jeu de Sudoku.

The notion of quantum graphs was first introduced in by Duan et. al. in 2012 with the aim of generalizing a notion in Shannon theory. As an analogue to the fact that classical graphs are non-reflexive symmetric relations, Weaver (2021) formulated quantum graphs as reflexive symmetric quantum relations. Following this work, Musto et. al. formulated finite quantum graphs as adjacency operators on finite quantum sets. Very surprisingly, these three different points of view lead to the same objects, quantum graphs, the focus of this topic. Our topic aims to define and study other properties of quantum graphs, such as connectivity, coloring problems and so on. These issues are fundamentally linked to central problems in quantum information theory. The initial approach of Duan et. al. was based on the observation that a quantum channel naturally defines a quantum graph. By studying this graph, we can, as in the classical case, calculate the channel's ability to transmit information (classical or quantum) perfectly (without error, i.e. without the need for an encoding/decoding scheme). Our aim is to go beyond these first examples to build a more complete dictionary of combinatorial properties between classical and quantum graphs.