Tenseurs aléatoires en grande dimension

High-dimensional random tensors

• Auteur / Autrice : Rémi Bonnin
• Direction : Charles Bordenave, Djalil Chafaï
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Mots clés

Mots clés libres

Tenseurs

Aléatoire

Probabilités libres

Réseaux de tenseurs

Matrices aléatoires

Tensors

Random

Free probability

Tensor networks

Random matrices

Résumé

Un point de départ est la notion de résolvante développée par le physicien Răzvan Gurău. Dans le cas matriciel, la résolvante peut être définie comme dérivée logarithmique d'un déterminant, et ce déterminant peut être exprimé comme une intégrale gaussienne. La généralisation de cette intégrale aux tenseurs conduit à une notion de résolvante pour les tenseurs réels symétriques. Cette résolvante est la transformée de Stieltjes d'une mesure de probabilités. Sur le plan combinatoire, cette résolvante peut s'exprimer comme une série génératrice d'invariants. L'étude de ces invariants à la limite nous a permis de démontrer un analogue tensoriel du théorème de Wigner universel. Ceci nous ouvre des portes pour tenter ensuite de développer une théorie des probabilités libres pour les tenseurs aléatoires.

A starting point is the notion of the resolvent developed by physicist Răzvan Gurău. In the matrix case, the resolvent can be defined as the logarithmic derivative of a determinant, and this determinant can be expressed as a Gaussian integral. Generalizing this integral to tensors leads to a notion of the resolvent for real symmetric tensors. This resolvent is the Stieltjes transform of a probability measure. Combinatorially, this resolvent can be expressed as a generating series of invariants. The study of these invariants in the limit allowed us to demonstrate a tensorial analogue of the universal Wigner theorem. This opens doors for us to attempt to develop a theory of free probability for random tensors.