Méthodes algébriques et géométriques pour l'intégration de données

Algebraic and geometric methods for data integration

• Auteur / Autrice : Victor Lecerf
• Direction : Dimitri Markouchevitch
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : AGA

Mots clés

Mots clés libres

Intégration de données

Analyse topologique des données

Poincaré-Lefschetz

Data integration

Topological data analysis

Poincaré-Lefschetz

Résumé

L'analyse topologique des données est un domaine développé à partir du milieu des années 2000 qui vise à découvrir et comprendre la structure topologique et géométrique de données. La théorie de la persistance, outil principal de l'analyse topologique des données, a été reformulée à partir du milieu des années 2010 en utilisant un point de vue faisceautique par J. Curry puis par M. Kashiwara et P. Schapira. Ces deux points de vue ont été récemment comparés par N. Berkouk. Cette approche a notamment donné un cadre naturel à la notion de multi-persistance, où le module de persistance est filtré par un paramètre appartenant à un espace de dimension plus grande que 1. Ce point de vue faisceautique a également permis de développer une théorie de Hodge discrète adaptée à l'analyse de données hétérogènes (J. Hansen, F. Barbero), utilisée notamment pour donner un nouveau cadre théorique à la dynamique des opinions (J. Hansen, R. Ghrist). L'objectif de cette thèse est de poursuivre le développement de ce cadre théorique, notamment en l'étendant en dimension supérieure afin de pouvoir analyser l'interaction entre une dynamique et son espace sous-jacent. Ce type de problème trouve une large plage d'applications, que ce soit dans le domaine médical (en imagerie cérébrale par exemple) ou dans le transport. Un deuxième objectif sera d'explorer l'utilisation et l'adaptation de résultats de type Poincaré-Lefschetz sur ces structures pour obtenir une bonne approximation du module de persistence tout en en réduisant la complexité calculatoire.

Topological data analysis (TDA) is a domain in development since the early 2000s aiming to discover and understand the topological and geometric structure of datasets. Persistance theory, the main tool of TDA, has been rewritten in the middle of the 2010s from point of view of sheaves by J. Curry, then by M. Kashiwara and P. Schapira. Those two points of view were recently compared by N. Berkouk. This approach has specifically given a natural framework for the notion of multi-persistance, where the persistance module is filtered by a parameter in a space of dimension no less than one. This sheaf-like point of view has also allowed the development of a discrete Hodge theory that is well suited for heterogeneous data analysis (J. Hansen, F. Barbero), especially used to construct a new framework to opinion dynamics (J. Hansen, R. Ghrist). The aim of this PhD is to carry on the development of this theoretical framework, notably by extending it to higher dimension in order to analyse the interaction between a dynamic and its underlying space. This kind of problem has many application, such as in the medical field (e.g cerebral imaging) or in transport. A secondary aim is to explore the use and adaptation of 'Poincaré-Lefschetz'-like results on those structures in order to find a good approximation of the persistence module, whilst lowering computational complexity.