Catégorification des partitions non croisées sur une surface

Categorifying noncrossing partitions on surfaces

• Auteur / Autrice : Judith Marquardt
• Direction : Claire Amiot, Pierre-Guy Plamondon
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des représentations

Partitions non croisées

Catégorification

Representation Theory

Non crossing partitions

Categorification

Résumé

Les partitions non croisées d'un disque avec n points marqués sur son bord sont des objets combinatoires d'un grand intérêt. Par exemple, elles forment un ensemble partiellement ordonné qui est un treillis, et elles sont dénombrées par les nombres de Catalan. L'introduction des algèbres amassées par Fomin et Zelevinsky a été suivie d'une activité intense reliant ces nouveaux concepts à des objets issus de la combinatoire, de l'algèbre et de la géométrie. Il a par exemple été démontré que les amas dans le type de Dynkin A_{n-1} sont en bijection avec les partitions non croisées d'un disque à n points marqués, un fait généralisé à tous les types Dynkin par Reading. Environ au même moment, il a été montré que les algèbres amassées étaient profondément liées à la théorie des représentations des carquois, grâce à l'introduction des catégories amassées et des caractères amassés. En utilisant ce lien, Ingalls et Thomas ont prouvé que pour tout carquois acyclique Q, le treillis des partitions non croisées en type Q est isomorphe au treillis des sous-catégories vastes de la catégorie rep Q des représentations de Q. Une sous-catégorie vaste d'une catégorie abélienne est une sous-catégorie complète qui est stable sous les extensions et qui hérite d'une structure abélienne. Récemment, Reading a introduit des partitions non croisées pour les surfaces marquées. Une surface marquée est une surface compacte dont le bord est isomorphe à une union finie de cercles, avec un ensemble fini de points marqués sur chaque composante de bord. Une partition non croisée de la surface est, grosso modo, une collection de sous-surfaces disjointes qui rejoignent les points marqués. Reading montre que les partitions non croisées d'une surface marquée donnée forment un treillis complet, et que ce treillis est gradué. Il prouve également plusieurs propriétés combinatoires intéressantes du treillis, comme le fait que certains intervalles du treillis sont des produits de treillis de partitions non croisées pour des surfaces plus 'petites'. L'objectif principal de ce projet de recherche est de catégorifier les partitions non croisées des surfaces marquées. Comme mentionné ci-dessus, si la surface marquée est un disque, alors son treillis de partitions non croisées est isomorphe au treillis des sous-catégories larges de rep Q, où Q est un carquois de type A_n. Un candidat naturel pour atteindre ce but est d'étudier la catégorification des algèbres amassées de surfaces. À une surface marquée peut être associée une algèbre amassée, et cette algèbre est catégorifiée par une catégorie amassée explicite, obtenue en utilisant la notion de carquois à potentiel.

Noncrossing partitions of a disk with n marked points on its boundary are combinatorial objects of great interest. For instance, they form a poset which is a lattice, and they are counted by Catalan numbers. The introduction of cluster algebras by Fomin and Zelevinsky was followed by intense activity linking these new concepts with objects from combinatorics, algebra and geometry. Relevant to this project, the clusters in Dynkin type A_{n−1} were shown to be in bijection with noncrossing partitions of a disk with n marked points, a fact generalized to all Dynkin types by Reading. Around the same time, cluster algebras were shown to be deeply connected to the representation theory of quivers, via the introduction of cluster categories and cluster characters. Using this link, it was proved by Ingalls and Thomas that for any acyclic quiver Q, the lattice of noncrossing partitions in type Q is isomorphic to the lattice of wide subcategories of the category rep Q of representations of Q. A wide subcategory of an abelian category is a full subcategory which is stable under extensions and inherits an abelian structure. Recently, Reading introduced noncrossing partitions for marked surfaces. A marked surface is a compact surface with boundary isomorphic to a finite union of circles, together with a finite set of marked points in on each boundary component. A noncrossing partition of the surface is, loosely speaking, a collection of pairwise disjoint embedded surfaces joining the marked points. Reading shows that the noncrossing partitions of a given marked surface form a complete lattice, and that this lattice is graded. He also proves several nice combinatorial properties of the lattice, such as the fact that some intervals in the lattice are products of lattices of noncrossing partitions for “smaller” surfaces. The primary aim in this research project is to categorify noncrossing partitions of marked surfaces. As mentionned above, if the marked surface is a disk, then its lattice of noncrossing partitions is isomorphic to the lattice of wide subcategories of rep Q, where Q is a quiver of type A_n. A natural candidate for achieving this aim is by looking at the categorification of cluster algebras from surfaces. To a marked surface can be associated a cluster algebra, and this algebra is categorified by an explicit cluster category, obtained using the notion of quivers with potential.