Aspects génériques de l'intrication dans les systèmes quantiques multi-partites de grande dimension

Generic aspects of entanglement in high dimensional multipartite quantum systems

• Auteur / Autrice : Kieran Mcshane
• Direction : Cécilia Lancien
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier

Mots clés

Mots clés libres

Matrices et tenseurs aléatoires

Analyse géométrique asymptotique

Information quantique

Random matrices and tensors

Asymptotic geometric analysis

Quantum information

Résumé

Le but de la thèse est d'utiliser des outils issus de l'analyse géométrique asymptotique (i.e. des techniques probabilistes dans l'étude des espaces de Banach de dimension grande mais fine) et de la théorie des matrices/tenseurs aléatoires afin de s'attaquer à des questions apparaissant en théorie quantique de l'information. En particulier, nous souhaitons comprendre les aspects typiques de propriétés en lien avec l'intrication de systèmes quantiques à N corps de grande dimension. En effet, être capable de caractériser et quantifier l'intrication d'un état quantique à N corps donné est une question clé, mais en général difficile. L'objectif général de cette thèse est de comprendre si cela peut néanmoins être fait dans des cas typiques (plutôt que dans le pire cas), i.e. pour des états quantiques pris au hasard. Il y aura deux axes de recherche principaux dans cette thèse: 1) Concevoir des conditions suffisantes à l'intrication des états mélangés bipartites, aussi connus sous le nom de critères d'intrication, qui sont plus faciles à vérifier que l'intrication elle-même, et estimer leur performance typique. 2) Etudier la quantité générique d'intrication (et plus généralement le comportement de propriétés en lien avec l'intrication) dans des classes spécifiques d'états purs multi-partites physiquement pertinents, tels que des états dits états réseau de tenseurs. Pour le point 1, nous considérerons des critères d'intrication inspirés soit par le critère de positivité sous transposition partielle soit par le critère de réalignement. Des travaux passés ont étudié ces critères sur une famille paramétrisée naturelle d'états aléatoires, et ont prouvé un phénomène de seuil. Nous voulons maintenant faire une analyse similaire pour des variants de ces critères basés sur des moments, et donc accessibles expérimentalement. Pour le point 2, d'un point de vue mathématique, calculer l'intrication dans un état pur multi-partite revient à calculer une certaine norme dite norme tensorielle injective. Cela a été fait pour des états uniformément distribués, et a montré qu'ils étaient presque maximalement intriqués. Nous voulons maintenant estimer la norme tensorielle injective pour des états aléatoires qui ont une structure spécifique de réseau de tenseurs, et ont ainsi un intérêt physique dans de nombreux contextes.

The goal of the PhD is to use tools from asymptotic geometric analysis (i.e. probabilistic techniques in the study of finite but high-dimensional Banach spaces) and random matrix/tensor theory to tackle questions arising in quantum information theory. In particular, we want to understand the typical aspects of entanglement-related properties of high-dimensional many-body quantum systems. Indeed, being able to characterize and quantify the entanglement in a given many-body quantum state is a key, but in general difficult, question. The general objective of this PhD is to understand if this can however be done for generic (rather than worst-case) instances, i.e. for quantum states that are picked at random. There will be two main research axes in this PhD: 1) Design sufficient conditions for the entanglement of bipartite mixed states, a.k.a. entanglement criteria, which are easier to verify than entanglement itself, and estimate their typical performance. 2) Study the generic amount of entanglement (and more generally the behavior of entanglement-related properties) in specific classes of multipartite pure states that are physically relevant, such as tensor network states. For point 1, we will consider entanglement criteria inspired by either the positive under partial transposition or the realignment criterion. Previous works have studied those on a natural parametrised family of random states, proving a threshold phenomenon. We now want to do a similar analysis for moment-based, hence experimentally accessible, variants of these criteria. For point 2, mathematically, computing the entanglement in a multipartite pure state boils down to computing a so-called injective tensor norm. This has been done for uniformly distributed states, showing that they are close to maximally entangled. We now want to estimate the injective tensor norm for random states that have a specific tensor network structure, and are thus of physical interest in many contexts.