Analyse mathématique et résolution numérique de quelques systèmes différentiels raides en modélisation biogéochimique

Mathematical analysis and numerical resolution of some stiff differential systems in biogeochemical modeling

• Auteur / Autrice : Abbas El hajj
• Direction : Guillaume Dujardin, Christophe Preux
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 04/11/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : INRIA - Institut national de recherche en informatique et en automatique Lille Nord Europe
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : INRIA-PAINLEVE

Mots clés

Mots clés libres

Biogéochimie

Systèmes différentiels raides

Analyse de stabilité

Méthode numérique

Positivité

Biogeochemistry

Stiff differential systems

Stability analysis

Numerical method

Positivity

Résumé

En géothermie, dépollution de l'eau et stockage souterrain d'hydrogène, les processus biochimiques dus aux bactéries et microbes ont un fort impact sur la production d'agents pathogènes et doivent être pris en compte dans l'évaluation des risques de contamination. Cette prise en compte se fait par l'intégration de modules dédiés dans les simulateurs d'écoulement en milieu poreux. Cependant, le développement de ces modules s'appuie sur des modèles de réaction empiriques qui sont assez éloignés de la cinétique chimique habituelle. En l'état actuel, les propriétés mathématiques sous-jacentes à ces nombreux modèles ad hoc, constitués d'équations différentielles ou algébro-différentielles, ne sont malheureusement pas bien comprises. Non seulement leur stabilité en temps long n'est pas toujours assurée, mais ils peuvent aussi être particulièrement raides dans certaines plages de fonctionnement. Par conséquent, leur intégration numérique s'avère délicate : un schéma même implicite nécessite souvent de très petits pas de temps et ne préserve pas toujours la positivité des concentrations. Dans ces conditions, le premier objectif de cette thèse est d'étudier ces modèles de biogéochimie sous un angle plus mathématique afin de faire ressortir les différentes structures de trajectoire en fonction des paramètres. Pour cela, nous utiliserons les outils de la théorie des systèmes dynamiques en rapport avec l'analyse de stabilité non linéaire et les bifurcations. Le but de cette étape est non seulement de valider la forme des solutions calculées, mais aussi d'anticiper les difficultés à traiter ultérieurement. Dans un deuxième temps, l'objectif suivant est d'améliorer les méthodes numériques du point de vue de la précision et de la robustesse vis-à-vis des difficultés mises en évidence. À cette fin, on cherchera à adapter plusieurs techniques récentes conçues pour garantir d'une part une meilleure convergence de la résolution par Newton du système algébrique après discrétisation, et d'autre part une gestion mieux adaptée de l'apparition ou la disparition de certaines espèces. On comparera les différentes méthodes d'abord en 0-D, sur des systèmes différentiels purs, puis en 2-D/3-D via un couplage avec les EDP du transport en milieu poreux.

In geothermal energy, water decontamination and underground hydrogen storage, biochemical processes due to bacteria and microbes have a strong impact on the production of pathogens and must be taken into account in the assessment of contamination risks. This is done by integrating dedicated modules into porous media flow simulators. However, the development of these modules is based on empirical reaction models that are quite far from usual chemical kinetics. As things stand, the mathematical properties underlying these numerous ad hoc models, consisting of differential or algebro-differential equations, are unfortunately not well understood. Not only is their long-term stability not always ensured, but they can also be particularly steep in certain operating ranges. Consequently, their numerical integration is tricky: even an implicit scheme often requires very small time steps and does not always preserve the positivity of concentrations. Under these conditions, the first objective of this thesis is to study these biogeochemistry models from a more mathematical angle in order to highlight the different trajectory structures as a function of the parameters. To do this, we will use the tools of dynamical systems theory in relation to nonlinear stability analysis and bifurcations. The aim of this step is not only to validate the form of the calculated solutions, but also to anticipate the difficulties to be dealt with later. In a second step, the next objective is to improve the numerical methods from the point of view of precision and robustness with respect to the difficulties highlighted. To this end, we will seek to adapt several recent techniques designed to guarantee on the one hand a better convergence of Newton's resolution of the algebraic system after discretization, and on the other hand a better adapted management of the appearance or disappearance of certain species. The different methods will be compared first in 0-D, on pure differential systems, then in 2-D/3-D via a coupling with the PDEs of transport in porous media.