Traitement du signal basé sur les fonctions propres au carré de l'opérateur de Schrödinger : analyse mathématique et application à l'identification des plaques carotidiennes vulnérables

Signal processing based on the squared eigenfunctions of the Schrodinger operator: Mathematical analysis and application to the identification of Vulnerable Carotid Plaques using CT Scans

• Auteur / Autrice : Juan Vargas
• Direction : Taous Meriem Laleg, Jean Davaine
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences du traitement du signal et des images
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre INRIA Saclay - Île-de-France
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Traitement du signal

Opérateur de Schrödinger

Identification des plaques carotidiennes vulnérables

Analyse mathématique

Signal processing

Schrodinger operator

Identification of Vulnerable Carotid Plaques

Mathematical analysis

Résumé

Les signaux biomédicaux sont généralement caractérisés par la présence de pics qui fournissent des informations directes ou indirectes sur l'état physiologique et métabolique. Habituellement, ces signaux en forme d'impulsion nécessitent un prétraitement tel que le débruitage et la suppression d'artefacts. Une analyse et un traitement plus poussés peuvent être nécessaires dans certaines situations spécifiques pour permettre l'extraction d'informations pertinentes à partir de ces signaux. Malgré le fait que la littérature abonde en méthodes de traitement du signal, il reste des défis à relever et d'autres améliorations peuvent être apportées au traitement des signaux en forme d'impulsion. Dans ce contexte, une méthode de traitement du signal quantique a été proposée en 1. Cette méthode, appelée méthode d'analyse du signal semi-classique (SCSA), décompose le signal en un ensemble de fonctions données par les fonctions propres au carré de l'opérateur de Schrödinger associées à ses valeurs propres négatives 1. Ainsi, et contrairement aux outils traditionnels de décomposition du signal, le SCSA exprime le signal à travers un ensemble de fonctions dépendantes du signal, c'est-à-dire que ces fonctions ne sont pas fixes et connues à l'avance mais sont calculées en résolvant le problème spectral de l'opérateur de Schrödinger dont le potentiel est le signal à analyser. En conséquence, ces fonctions propres capturent plus de détails sur le signal et ses variations morphologiques 2. Le SCSA a été appliqué avec succès dans de nombreuses applications pour la représentation de signaux, le débruitage, le post-traitement et l'extraction de caractéristiques. Par exemple, il a été utilisé pour l'analyse de la forme d'onde de la pression artérielle artérielle dans 3,4 et pour le débruitage par spectroscopie par résonance magnétique (SRM) 5, pour la suppression de l'eau par SRM 6 et pour la suppression des lipides par SRM 7. Il a également été utilisé pour l'extraction de caractéristiques dans la détection des crises d'épilepsie 8 et pour la caractérisation des signaux PPG et des signaux de pression artérielle pour l'estimation non invasive de la pression centrale et de la rigidité artérielle respectivement 9. De plus, SCSA a été étendu au cas 2D pour la représentation et le débruitage d'images 11, et plus récemment pour l'amélioration du contraste de l'image. L'objectif de ce projet de recherche est d'étudier les propriétés mathématiques de la SCSA et de comparer qualitativement et quantitativement l'approche à des méthodes de pointe telles que les ondelettes et les méthodes de décomposition de modèles empiriques. Un parallèle entre les propriétés quantiques et de traitement du signal sera étudié. Les propriétés numériques de l'algorithme seront analysées, en mettant l'accent sur l'optimisation des codes actuels, en particulier en 2D, qui repose sur un solveur de valeurs propres. De plus, l'étudiant étudiera l'utilisation du 2D-SCSA pour la caractérisation des tomodensitogrammes dans le but d'identifier les plaques carotidiennes vulnérables chez les patients asymptomatiques. Le principal avantage de cette méthode est la capacité inhérente du SCSA à filtrer les données bruitées et à augmenter le contraste des images en même temps. Cela crée un grand intérêt pour la méthode car elle pourrait potentiellement être utilisée comme méthode d'extraction de caractéristiques pouvant s'adapter à différents niveaux de bruit ou conditions de contraste et comme étape de prétraitement pour les méthodes d'apprentissage profond. Pour ce projet, nous aurons accès à une importante collection d'images histopathologiques ainsi qu'à une grande quantité de tomodensitomètres obtenus avec la collaboration du Dr Jean-Michel Davaine, chirurgien vasculaire à l'AP-HP, CHU Pitié-Salpêtrière.

Biomedical signals are usually characterized by the presence of peaks that provide direct or indirect information on the physiological and metabolic state. Usually, these pulse-shaped signals require preprocessing such as denoising and artifact removals. Further analysis and processing might be required in some specific situations to allow for the extraction of pertinent information from these signals. Despite the fact that the literature abounds with signal processing methods, there are still challenges that need to be overcome and further improvements can be achieved for processing pulse-shaped signals. In this context, a quantum-based signal processing method has been proposed in 1. This method called the semi‐classical signal analysis (SCSA) method decomposes the signal into a set of functions given by the squared eigenfunctions of the Schrödinger operator associated to its negative eigenvalues 1. Thus, and unlike traditional signal decomposition tools, the SCSA expresses the signal through a set of functions that are signal dependent, that is, these functions are not fixed and known in advance but are computed by solving the spectral problem of the Schrödinger operator whose potential is the signal to be analyzed. Accordingly, these eigenfunctions capture more details about the signal and its morphological variations 2. The SCSA has been successfully applied in many applications for signal representation, denoising, post‐processing, and feature extraction. For example, it has been used for arterial blood pressure waveform analysis in 3,4 and for magnetic resonance spectroscopy (MRS) denoising 5, for MRS water suppression 6, and for MRS lipid suppression 7. It has been also used for feature extraction in epileptic seizure detection 8 and for the characterization of PPG signals and blood pressure signals for non-invasive estimation of central pressure and arterial stiffness respectively 9. Additionally, SCSA has been extended to the 2D case for image representation and denoising 11, and more recently for image contrast enhancement. The objective of this research project is to study the mathematical properties of the SCSA and compare the approach qualitatively and quantitatively to state-of-the-art methods such as Wavelets and empirical model decomposition methods. A parallel between quantum and signal processing properties will be studied. Numerical properties of the algorithm will be analyzed, with a focus on the optimization of the current codes especially in 2D, which relies on an eigenvalues solver. In addition, the student will investigate the use of the 2D-SCSA for the characterization of CT scans intending to identify vulnerable carotid plaques for asymptomatic patients. The main advantage of this method is the inherent capacity of the SCSA to filter noisy data and increase the contrast of images at the same time 11. This creates a great interest in the method since it could be potentially used as a feature extraction method that can adapt to different noise levels or contrast conditions and as a pre-processing step for deep learning methods. For this project, we will have access to a large histopathological image collection as well as to a large amount of CT-scanner obtained with the collaboration of Dr. Jean-Michel Davaine, a vascular surgeon at AP-HP, CHU Pitié- Salpêtrière.