Système de particules pour un modèle 2D de pseudo-gravité
Auteur / Autrice : | Yuhong Feng |
Direction : | Nicolas Fournier, Camille Tardif |
Type : | Projet de thèse |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Inscription en doctorat le 01/09/2024 |
Etablissement(s) : | Sorbonne université |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation |
Mots clés
Mots clés libres
Résumé
Dans [1], les auteurs proposent et étudient un modèle mathématique simple de pseudo-gravité en dimension 2. Il s'agit d'un nuage de particules dans le plan soumis à des forces confinantes induites par deux lasers. Les axes des deux lasers sont orthogonaux et lorsque deux particules se trouvent alignées dans l'axe d'un des lasers elles subissent une force attractive. Le reste du temps les particules diffusent indépendamment les unes des autres. Le nombre de particules étant supposé très grand, les auteurs de [1] étudient la dynamique en champ-moyen, ce qui donne la dynamique suivante sur la densité de particules : [ partial_t rho = Delta rho - a nabla(F[rho]rho), ] où (rho(t,x)) est la densité de particules à l'instant (t) et à la position (x in mathbb{R}^2), (Delta) est le Laplacien de (mathbb{R}^2), (a > 0) est un paramètre d'intensité et (F), le champ de forces confinant subi par le nuage, est défini par : [ F[rho](t,x) := begin{pmatrix} - int text{sgn}(x_1 - x_1') rho(x_1', x_2) , dx_1' - int text{sgn}(x_2 - x_2') rho(x_1, x_2') , dx_2' end{pmatrix} ] Une question naturelle pour l'étude de cette EDP non linéaire (1) est, outre l'existence et l'unicité d'une solution locale en temps, de savoir s'il y a explosion : partant d'une condition initiale régulière, se forme-t-il un Dirac à un certain temps (T_{text{Exp}}) ? Y a-t-il une transition de ce phénomène d'explosion en fonction du paramètre (a) ? Ces mêmes questions se posent pour d'autres modèles attractifs tels que, par exemple, le modèle de Keller-Segel [4], pour lequel le champ de forces est de la forme (F[rho] = -nabla(G * rho)), où [ G(x,x') := log |x - x'| ] est la fonction de Green dans le plan. Pour le modèle de pseudo-gravité, le champ de forces peut également s'écrire formellement à l'aide d'une convolution par un noyau : [ F[rho] = K * rho, ] où [ K = begin{pmatrix} -text{sgn}(x_1) delta_{x_2=0} -text{sgn}(x_2) delta_{x_1=0} end{pmatrix} ] La particularité et la difficulté ici est que le champ de forces ne dérive pas d'un potentiel, qu'il est à longue portée et que le noyau (K) est singulier. Pour contourner cette difficulté, les auteurs de [1] régularisent le champ (F) et montrent que si (a) est suffisamment petit, la solution régularisée converge, à sous-suite près, vers une solution (avec unicité sous une hypothèse de symétrie) de (1). Du point de vue probabiliste, l'éventuelle solution de (1) peut être interprétée comme la limite (déterministe) lorsque (N to infty), de la mesure empirique [ rho_t^N = frac{1}{N} sum_{i=1}^N delta_{X_t^{i,N}} ] d'un système de (N) particules (X_t^N = (X_t^{i,N})_{i=1, dots, N}) solution de l'EDS (formelle) suivante : [ X_t^N = X_0 + sqrt{2} B_t + a int_0^t (K * rho_s^N)(X_s^N) , ds, ] où (B_t) est un Brownien de (mathbb{R}^N). Concrètement, cela correspond au système d'EDS suivant : [ begin{cases} X_{t,1}^{i,N} = X_{0,1}^{i,N} + sqrt{2} B_{t,1}^i - frac{a}{N} sum_{j=1}^N int_0^t text{sgn}(X_{s,1}^i - X_{s,1}^j) , dL_s^{i,j,2}, X_{t,2}^{i,N} = X_{0,2}^{i,N} + sqrt{2} B_{t,2}^i - frac{a}{N} sum_{j=1}^N int_0^t text{sgn}(X_{s,2}^i - X_{s,2}^j) , dL_s^{i,j,1}, end{cases} ] où (L_s^{i,j,2}) est le temps local en 0 et jusqu'à l'instant (s) de ((X_{t,2}^i - X_{t,2}^j)_{t geq 0}), c'est-à-dire formellement : [ L_s^{i,j,2} = lim_{epsilon to 0} frac{1}{2epsilon} int_0^s mathbb{1}_{|X_{u,2}^i - X_{u,2}^j| leq epsilon} , du = int_0^s delta(X_{u,2}^i - X_{u,2}^j = 0) , ds. ] De même, (L_s^{i,j,1}) est le temps local en 0 et jusqu'à l'instant (s) de ((X_{t,1}^i - X_{t,1}^j)_{t geq 0}). On peut alors formuler deux axes principaux de recherche pour la thèse. Étude du système de particules. L'équation (2) n'a, a priori, de sens que jusqu'au temps de la première collision entre deux particules (c'est-à-dire lorsque les temps locaux sont nuls). Cependant, lorsque (N = 2), on peut donner un sens rigoureux à (2) en remarquant que le processus ((X_t^1 - X_t^2)_{t geq 0}) est markovien et que si on le ''replie'' dans le quart de plan ((mathbb{R}_+)^2) (c'est-à-dire en considérant le processus ((|X_{t,1}^1 - X_{t,1}^2|, |X_{t,2}^1 - X_{t,2}^2|)_{t geq 0}), on obtient un Brownien réfléchi de manière oblique dans le quart de plan. En utilisant les travaux de Varadhan et Williams [6] sur le Brownien réfléchi dans un cône, on peut montrer que les deux particules se touchent et redécollent naturellement. Cela repose sur l'introduction d'une fonction harmonique très intelligente. Ainsi, il n'y a pas d'explosion, et ce quelle que soit la valeur du paramètre (a > 0). La question de définir une solution à l'équation (2) pour (N geq 3) est intimement liée à celle de l'existence ou non de collisions à (k) particules, pour (k leq N), en fonction de (a) et de (N), et de savoir si les particules peuvent repartir après collision. La question équivalente pour le modèle de Keller-Segel a été récemment résolue dans [3], où l'on montre l'explosion des trajectoires (des paquets inséparables de particules finissent par apparaître) et qu'il existe (k_0), de l'ordre de (N), tel que juste avant l'explosion, il y a des collisions à 2 particules, à (k_0 - 2) et (k_0 - 1) particules, mais pas de collisions à 3, , (k_0 - 3) particules. Pour le modèle de pseudo-gravité, on pense que le phénomène sera différent : il devrait y avoir des collisions pour tout paquet de (k leq N) particules, mais on penche plutôt pour la non-explosion, quelle que soit la valeur de (a). Techniquement, définir une solution à l'EDS (2) reviendrait à définir une solution dans ((mathbb{R}^2)^N) qui est en quelque sorte ''réfléchie'' lorsqu'elle touche (U), où [ U = bigcup_{k=2}^N bigcup_{K subset {1, dots, N}, |K| = k} {x in (mathbb{R}^2)^N : x_i = x_j, forall i neq j in K}. ] On pourrait s'inspirer alors des travaux de [5] qui définissent des solutions d'EDS réfléchies en résolvant des problèmes de sous-martingale. Il faudrait alors montrer que la transformation de Skorokhod, du problème de Skorokhod associé, est Lipschitz. Une autre approche possible est celle de [6], qui construisent une solution à un problème de sous-martingales en introduisant une fonction harmonique (très) bien choisie. Étude de la limite champ-moyen. Ensuite, on pourrait envisager de montrer qu'il n'y a pas d'explosion, même lorsque (N = infty), c'est-à-dire formellement pour la solution de l'EDP non linéaire (1), et ce pour n'importe quelle valeur du paramètre (a > 0). Dans [1], les auteurs montrent la non-explosion seulement pour (a) suffisamment petit. Dans un second temps, on pourra alors envisager de montrer un résultat de convergence du système de particules vers la limite champ-moyen solution de (1). Dans le cas du modèle de Keller-Segel, une référence récente pour ce problème est le papier de Bresch-Jabin-Wang [2]. La situation dans le modèle de pseudo-gravité devrait être plus agréable, puisqu'on s'attend à ce qu'il n'y ait pas d'explosion. Cependant, la nature du champ de forces (singulier, ne dérivant pas d'un potentiel et étant à longue portée) rend techniquement difficile l'obtention de ce type de résultat et cela constitue alors un véritable challenge. [1] J. Barré, D. Crisan, and T. Goudon. Two-dimensional pseudo-gravity model: particles motion in a non-potential singular force field. Trans. Amer. Math. Soc. (2019) [2] D. Bresch, P.E. Jabin, and Z. Wang. Mean field limit and quantitative estimates with singular attractive kernels. Duke Math. J. (2023) [3] N. Fournier and Y. Tardy. Collisions of the supercritical Keller-Segel particle system. J. Eur. Math. Soc. (2024) [4] F. Keller and A. Segel. Model for chemotaxis. J. Theor. Biol. (1971) [5] W. Kang and K. Ramanan. On the submartingale problem for reflected diffusions in domains with piecewise smooth boundaries. Ann. Probab. (2017) [6] S.R.S. Varadhan and R.J. Williams. Brownian motion in a wedge with oblique reflection. Comm. Pure Appl. Math. (1985)