Multifractalité dans les Graphes Quantiques

Multifractality in Quantum Graphs

• Auteur / Autrice : Marius Nietschmann
• Direction : Henrik Ueberschar, Maxime Ingremeau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse Fonctionnelle

Mots clés

Mots clés libres

Multifractalité

Graphes quantiques

Théorie spectrale

Chaos quantique

Multifractality

Quantum graphs

Spectral theory

Quantum chaos

Résumé

Alors que les études portant sur le chaos quantique se sont principalement concentrés sur les systèmes dynamiques chaotiques avec leurs propriétés de localisation et délocalisation, d'autres systèmes plus complexes demandent notre attention. Nous pouvons citer les systèmes intermédiaires au point de transition entre deux régimes physiques. Ces derniers possèdent une propriété appelée “multifractalité” : une autosimilarité dans un régime d'échelle qui ne peut être décrite non par un seul exposant fractal mais par un spectre continu d'exposants. L'objectif du projet est de combler le fossé entre localisation et délocalisation ainsi que de comprendre la multifractalité dans certains modèles-jouets, tels que les graphes quantiques. Mon directeur Henrik Ueberschär et son collègue ont fait des avancées récentes dans ce domaine en montrant l'existence de fonctions propres multifractales dans les graphes étoilés - une classe spécifique de graphes quantiques. Dans une première étape du projet, nous proposons d'étendre leur méthode aux graphes étoilés multinodaux (graphes étoilés où le nœud central est remplacé par un graphe complet). La deuxième étape sera de considérer des graphes quantiques plus généraux, en utilisant les outils développés par mon co-directeur Maxime Ingremeau.

While studies on quantum chaos have mainly concentrated on chaotic dynamical systems and their localization and delocalization properties, other more complex systems ask for our attention. Those include intermediate systems at the transition point between two physical regimes. The latter are known to show a property called ''multifractality'': a self-similarity in a certain scaling regime which cannot be described by a single fractal exponent but rather by a continuous spectrum of exponents. The goal of this project is to fill the gap between localization and delocalization and to understand multifractality in certain toy models such as quantum graphs. In this realm, my supervisor Henrik Ueberschär and his colleague have made recent advances in showing the existence of multifractal eigenfunctions in star graphs - a certain kind of quantum graphs. As the first step of the project, we propose to extend their results to multinodal star graphs (star graphs where the central vertex is replaced by a complete graph). The second step will be to consider more general quantum graphs using the tools developed by my co-supervisor Maxime Ingremeau.