ÉTUDE DE CERTAINES FAMILLES DE POLYNÔMES À COEFFICIENTS UNIMODULAIRES RELIÉS AUX SYMBOLES DE LEGENDRE ET AUX SOMMES DE KLOOSTERMAN

STUDY OF CERTAIN FAMILIES OF UNIMODULAR POLYNOMIALS ASSOCIATED TO LEGENDRE SYMBOLS AND KLOOSTERMAN SUMS

• Auteur / Autrice : Amine Iggidr
• Direction : Youness Lamzouri, Thomas Stoll
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2024
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : ANALYSE ET THEORIE DES NOMBRES

Mots clés

Mots clés libres

Sommes de Kloosterman

Polynômes de Fekete

Hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis

Polynômes de Littlewood

Symboles de Legendre

Riemann hypothesis for curves over finite fields

Fekete polynomials

Kloosterman sums

Littlewood polynomials

Legendre symbols

Résumé

Les polynômes sont des objets fondamentaux en mathématiques et jouent un rôle crucial dans divers autres domaines des sciences comme l'ingénierie (par exemple dans le calcul de la répartition des contraintes et des déformations dans les ponts et les bâtiments en génie civil), en statistiques (régression polynomiale dans l'analyse des données), dans le traitement d'images et du signal, ou en recherche opérationnelle. Un problème fondamental qui se trouve à l'intersection de plusieurs branches des mathématiques, incluant l'analyse, la théorie des probabilités, la combinatoire et la théorie des nombres, est de déterminer la localisation des zéros de polynômes dont les coefficients sont dans un domaine restreint du plan complexe. Un intérêt particulier a été porté aux polynômes dit unimodulaires, dont les coefficients sont des nombres complexes de module 1. L'objectif de cette thèse est d'étudier les zéros et la répartition des valeurs de certaines familles de polynômes qui proviennent de l'arithmétique et de la géométrie algébrique. Un exemple important est la famille des polynômes de Fekete, dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre modulo un nombre premier p. Afin de répondre à ces problématiques, on utilisera une variété d'outils analytiques, probabilistes et combinatoires, ainsi que des ingrédients de géométrie algébrique, notamment la version la plus générale de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis due à Deligne.

Polynomials are fundamental objects in mathematics and play a crucial role in various other scientific fields, such as engineering (e.g. in the calculation of stress and strain distributions in bridges and buildings in civil engineering), statistics (polynomial regression in data analysis), image and signal processing, or operational research. A fundamental problem that lies at the intersection of several branches of mathematics, including analysis, probability theory, combinatorics and number theory, is to determine the location of the zeros of polynomials whose coefficients lie in a restricted domain of the complex plane. Of particular interest are the so-called unimodular polynomials, whose coefficients are complex numbers of modulus 1. The goal of this thesis is to study the zeros and distribution of values of certain families of polynomials that originate in arithmetic and algebraic geometry. An important example is the family of Fekete polynomials, whose coefficients are the values of the Legendre symbol modulo a prime number p. To address these issues, a variety of analytic, probabilistic and combinatorial tools will be used, as well as ingredients of algebraic geometry, including the most general version of the Riemann hypothesis on finite fields proved by Deligne.