Approximation de faible rang pour la modélisation des tenseurs

Low-rank approximation for tensor modeling

• Auteur / Autrice : Mattia Matucci
• Direction : Bernard Mourrain, Angelos Mantzaflaris
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : INRIA - AROMATH - AlgebRa, geOmetry, Modeling and AlgoriTHms

Mots clés

Mots clés libres

Modélisation des tenseurs

Apporximation du rang inférieur

Analyse isogéométrique

Espace hiérarchique

Tensor modeling

Low rank apporximation

Isogeometric Analysis

Hierarchical Space

Résumé

Ce projet vise à obtenir des représentations de faible rang des solutions numériques d'opérateurs différentiels partiels de haute dimension, en vue de leur utilisation dans la modélisation et l'optimisation. En particulier, nous visons à accélérer les discrétisations isogéométriques qui sont basées sur des produits tensoriels ou des splines hiérarchiques. La résolution à l'aide de méthodes basées sur des grilles souffre de la malédiction de la dimensionnalité et s'adapte mal au nombre de nœuds dans la représentation spline. Nous aborderons ce problème en utilisant la décomposition tensorielle au moyen de la méthode des moments. La discrétisation du problème sera effectuée à l'aide de bases splines à produit tensoriel, améliorées par l'utilisation d'une approximation de faible rang du domaine de calcul et de la solution numérique. Par conséquent, la complexité de calcul de la méthode dépendra du rang du tenseur résultant et sera linéaire dans les dimensions de la grille. Dans une deuxième phase, la discrétisation sera enrichie à l'aide de splines hiérarchiques, afin de localiser le problème et de gagner en efficacité dans les instances de haute dimension.

This project aims at low-rank representations of numerical solutions of high-dimensional partial differential operators, for use in modeling and optimization. In particular we aim at accelerating isogeometric discretizations that are based on tensor-product or hierarchical splines. Solving using grid-based methods suffers from the, so called, curse of dimensionality and scales badly with the number of knots in the spline representation. We will tackle this problem using tensor decomposition by means of the moment method. The problem discretization will be carried out using tensor-product spline bases, enhanced by the use of low-rank approximation of the computational domain and the numerical solution. Consequently, the computational complexity of the method will depend on the resulting tensor rank and will be linear in the grid dimensions. In a second phase the discretization will be enriched using hierarchical splines, for localizing the problem and for gaining efficiency in high dimensional instances.