Répartition statistique des facteurs premiers des nombres entiers.

Statistical distribution of prime factors of integers.

• Auteur / Autrice : Jonathan Rotge
• Direction : Joel Rivat
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 02/09/2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Mots clés

Mots clés libres

Théorème d'Erdös-Kac

Théorème de Berry-Esseen

Crible

Entiers friables

Erdös-Kac theorem

Berry-Esseen theorem

Sieve

Friable number

Résumé

Le théorème d'ErdH os-Kac citer{EK39}, citer{EK40}, est le premier grand succès de la théorie probabiliste des nombres, dont les bases ont été posées par Hardy et Ramanujan en 1917. Ce théorème énonce que le nombre des facteurs premiers d'un entier suit stochatisquement une loi de Gauss. La postérité de ce résultat est considérable. Parmi les nombreux résultats qui ont éclairé la théorie, citons le modèle de Kubilius (exposé notamment dans citer{El79}, citer{El80}, citer{Te22}), qui fournit un cadre général effectif reliant la théorie des probabilités à l'approche probabiliste de l'arithmétique. À l'inverse, les chercheurs de l'école de Vilnius ont produit des modèles arithmétiques de notions probabilistes fondamentales comme le mouvement brownien. On pourra notamment consulter sur ce sujet les articles citer{Ma88}, citer{Ma96}, citer{MT97}, citer{Te97}, citer{BT16}. Dans le prolongement du théorème d'ErdH os-Kac, on a cherché à décrire plus finement la structure multiplicative d'un entier choisi au hasard, au sens de la densité naturelle, entendue comme la limite de la fréquence calculée sur les premiers entiers. Un résultat d'ErdH os, explicité dans l'ouvrage citer{HT88}, stipule ainsi que le $k$-ième facteur premier $p_k(n)$ d'un entier $n$ «normal» vérifie $log_2p_k(n)sim k$ dès que $ktoinfty$. Ici et dans la suite $log_j$ désigne la $j$-ème itérée de la fonction logarithme. Ainsi qu'anticipé par ErdH os et établi dans citer{HT88}, ce résultat relève également de la loi du logarithme itéré. Il s'est ensuite agi de préciser le comportement statistique de facteurs premiers particuliers, possédant une influence spécifique sur la décomposition canonique d'un entier. Au premier rang de ceux-ci figure le plus grand facteur premier, et le plus petit facteur premier. Le second cas correspond la théorie du crible, le premier à une branche importante de la discipline: la théorie des entiers friables---voir par exemple citeplus{Te22}{h. III.5} pour un exposé synthétique. Depuis quelques années, la bibliographie a vu apparaître des travaux relatifs à des facteurs premiers intermédiaires, comme par exemple le facteur de rang médian, ou de rang égal à une proportion fixée du nombre total. Considérons pour fixer les idées le cas du facteur $p_m(n)$ de rang médian, tout en gardant à l'esprit que la problématique s'étend naturellement aux autres cas. Diverses questions questions d'intérêt ont été abordées sans qu'aucune ne reçoive une réponse finale: - Le comportement de la somme $$sum_{nleqslant x}{1over p_m(n)}$$ lorsque $xtoinfty$. Considérée dans citer{DKL13} et citer{Ou17}, cette question laisse ouvert le problème de l'obtention d'une véritable formule asymptotique, à l'instar du cas où $p_m(n)$ est remplacé par le plus grand facteur premier de $n$. - L'approximation gaussienne de la fréquence $${1over x}big|big{nleqslant x:log_2p_m(n)leqslant dmlog_2+zsqrt{log_2x}big}big|.$$ Les travaux citer{DKDO19} et citer{MNPS23b} fournissent une réponse partielle mais l'estimation de la vitesse de convergence ne correspond pas à la conjecture naturelle. - La question analogue à la précédente, mais relative aux nombre premiers translatés est entièrement ouverte alors que citeplus{DKK21}{th. 2} invite à conjecturer une réponse positive. - L'évaluation de la quantité $$|{nleqslant x:p_m(n)=p}|$$ est abordée dans citer{MNPS23b} et fait apparaître un changement de phase lorsque $log_2psimft15log_2x$, mais la transition n'est pas décrite. - La somme $$sum_{nleqslant x}log p_m(n)$$ est évaluée dans citer{MNPS23b} mais le terme d'erreur relatif n'est pas optimal. Toutes ces questions, et un certain nombre d'autres liées à la même problématique, font structurellement appel aux développements les plus délicats de la théorie du crible et de celle des entiers friables. Leur résolution aura ainsi à la fois un intérêt intrinsèque, en fournissant une description probabiliste des entiers via le prisme des facteurs premiers intermédiaires, et un intérêt méthodologique via les techniques élaborées pour y parvenir. Le sujet de thèse proposé à Jonathan Rotgé consiste à aborder certaines des questions décrites plus haut, avec l'objectif d'obtenir des évaluations aussi conformes que possible aux connaissances actuelles des théories sous-jacentes.

The ErdH os-Kac theorem citer{EK39}, citer{EK40} is the first major success of probabilistic number theory, whose foundations were laid by Hardy and Ramanujan in 1917. This theorem states that the number of prime factors of an integer follows a Gaussian distribution. The impact of this result is considerable. Among the numerous results that have illuminated the theory, we can mention the Kubilius model (presented notably in citer{El79}, citer{El80}, citer{Te22}), which provides an effective general framework linking probability theory to the probabilistic approach of arithmetic. Conversely, researchers from the Vilnius school have produced arithmetic models of fundamental probabilistic notions such as Brownian motion. On this subject, one may consult the articles citer{Ma88}, citer{Ma96}, citer{MT97}, citer{Te97}, citer{BT16}. Following the ErdH os-Kac theorem, there have been efforts to more precisely describe the multiplicative structure of a randomly chosen integer, in the sense of natural density, understood as the limit of frequency calculated over the first integers. A result by ErdH os, detailed in the book citer{HT88}, stipulates that the $k$-th prime factor $p_k(n)$ of a ''normal'' integer $n$ satisfies $log_2p_k(n)sim k$ as soon as $ktoinfty$. Here and in the following, $log_j$ denotes the $j$-th iteration of the logarithm function. As anticipated by ErdH os and established in citer{HT88}, this result also falls under the law of the iterated logarithm. Next, the focus was on specifying the statistical behavior of particular prime factors, which have a specific influence on the canonical decomposition of an integer. At the forefront of these are the largest prime factor and the smallest prime factor. The second case corresponds to sieve theory, and the first to an important branch of the discipline: the theory of friable integers—see for example citeplus{Te22}{h. III.5} for a comprehensive overview. In recent years, the bibliography has seen works related to intermediate prime factors, such as the median rank factor or the factor of rank equal to a fixed proportion of the total number. To set ideas, consider the case of the median rank factor $p_m(n)$, keeping in mind that the problem naturally extends to other cases. Various interesting questions have been addressed without any receiving a definitive answer: - The behavior of the sum $$ sum_{nleqslant x}{1over p_m(n)} $$ as $xtoinfty$. Considered in citer{DKL13} and citer{Ou17}, this question leaves open the problem of obtaining a genuine asymptotic formula, similar to the case where $p_m(n)$ is replaced by the largest prime factor of $n$. - The Gaussian approximation of the frequency $$ {1over x}big|big{nleqslant x:log_2p_m(n)leqslant dmlog_2+zsqrt{log_2x}big}big|. $$ The works citer{DKDO19} and citer{MNPS23b} provide a partial answer, but the estimation of the convergence rate does not match the natural conjecture. - The analogous question to the previous one, but relative to translated primes, is entirely open, while citeplus{DKK21}{th. 2} invites conjecturing a positive answer. - The evaluation of the quantity $$ |{nleqslant x:p_m(n)=p}| $$ is addressed in citer{MNPS23b} and reveals a phase transition when $log_2psimft15log_2x$, but the transition is not described. - The sum $$ sum_{nleqslant x}log p_m(n) $$ is evaluated in citer{MNPS23b}, but the relative error term is not optimal. All these questions, and several others related to the same issue, structurally call upon the most delicate developments of sieve theory and friable integer theory. Their resolution will thus have both intrinsic interest, by providing a probabilistic description of integers through the lens of intermediate prime factors, and methodological interest through the sophisticated techniques developed to achieve it. The proposed thesis topic for Jonathan Rotgé consists of addressing some of the questions described above, with the aim of obtaining evaluations as consistent as possible with the current understanding of the underlying theories.