Méthodes multi-échelles pour le contrôle et l'approximation numérique des quelques équations aux dérivées partielles

Multiscale methods for the control and numerical approximation of some partial differential equations

• Auteur / Autrice : Ali Mohamed houmed
• Direction : Souleymane Kadri-harouna, Kais Ammari
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématique et applications
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : La Rochelle en cotutelle avec Université de Djibouti
• Ecole(s) doctorale(s) : EUCLIDE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Images et applications

Mots clés

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles

Approximation numérique

Théorie de contrôle

Méthode multi-échelle

Ondelette

Partial differential equations

Numerical approximation

Control theory

Multiscale methods

Wavelet

Résumé

La théorie de contrôle intervient ces dernières années dans plusieurs domaines d'applications : l'industrie, l'économie, la santé et dans tout domaine où il s'agit de prendre des décisions optimales selon un critère de coût. Ces phénomènes sont gouvernés par des équations différentielles ordinaires continues ou discrètes, ou par des équations aux dérivées partielles, lorsqu'on tient compte du paramètre espace (zone). L'objectif peut être de stabiliser le système pour le rendre insensible à certaines perturbations (stabilisation), ou encore de déterminer des solutions optimales pour un certain critère d'optimisation (contrôle optimal). En pratique, pour les modèles gouvernés par des équations aux dérivées partielles, sauf quelques cas simples dont on connait les solutions analytiques, seules des méthodes numériques sont capables de fournir des solutions exploitables en ingénierie. Alors il est nécessaire de construire des schémas numériques performants, robustes et efficaces dans la résolution du problème de contrôle. Les méthodes basées ondelette se situent entre les méthodes spectrales de type Fourier (bonne localisation en fréquence) et les méthodes de type éléments finis (bonne localisation en espace). D'après leur propriété de double localisation espace-temps, les bases d'ondelettes offrent une discrétisation parcimonieuse de la solution, ce qui a pour avantage de réduire le coût de calcul et stockage mémoire lors des simulations numériques. Ce projet de thèse a pour premier objectif l'étude et la mise en œuvre des schémas numériques basés ondelettes pour le contrôle des équations aux dérivées partielles. Un des principaux outils pour étudier le problème de contrôle est la technique de dualité [3]. Ainsi, on montre qu'on sait contrôler le système dès que le modèle adjoint est observable [3,4]. Lors de la discrétisation numérique, on aimerait garder cette propriété d'observabilité / contrôlabilité du modèle continu. Or, le passage du continu au discret n'est pas commutatif. Depuis les travaux de Glowinski [2], et plus récemment de E. Zuazua [4,5], il est connu que cette propriété n'est pas conservée par des méthodes classiques de discrétisation telles que les différences finies ou éléments finis, pour l'équation d'onde par exemple. L'utilisation des schémas numériques convergents usuels conduit, pour une large classe de données initiales, à une suite de contrôles indicée par le paramètre d'approximation. Cette suite est non uniformément bornée par rapport à la discrétisation et sa norme diverge exponentiellement. Pour y remédier, une solution [5] était d'utiliser des approches avec deux grilles de calcul afin de filtrer les ondes parasites (hautes fréquences). L'utilisation des approches multi-échelles, dans le cas général, reste encore un problème ouvert. On espère ainsi utiliser le filtrage par ondelettes afin de construire des schémas numériques efficaces et uniformément contrôlables, conduisant à des conditions de stabilité raisonnables et une convergence de la norme du contrôle conforme au degré d'approximation. Références : 1. R. Glowinski, Ensuring well‐posedness by analogy: Stokes problem and boundary control for the wave equation, J. Comput. Phys., 103 (1992), pp. 189–221. 2. R. Glowinski, C. H. Li, and J.‐L. Lions, A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I). Dirichlet controls: Description of the numerical methods, Japan J. Appl. Math., 7 (1990), pp. 1–76. 3. J.-L. Lions, Contrˆolabilit´e exacte, stabilisation et perturbations de syst`emes distribu´es Tome 1. Contrˆolabilit´ee exacte. Rech. Math. Appl, Masson, 1988. 4. E. Zuazua. Control and numerical approximation of the wave and heat equations. International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, III, (2006), pp.1389–1417. 5. E. Zuazua. Propagation, observation, control and numerical approximations of waves approximated by finite difference methods. SIAM Review, 47, (2005), pp.197–243.

In recent years, control theory has been applied in a number of fields: industry, economics, health and any other area where optimal decisions have to be made on the basis of cost criteria. These phenomena are governed by continuous or discrete ordinary differential equations, or by partial differential equations, when the space parameter (zone) is taken into account. The aim may be to stabilize the system, making it insensitive to certain disturbances (stabilization), or to determine optimal solutions for a certain optimization criterion (optimal control). In practice, for models governed by partial differential equations, with the exception of a few simple cases for which analytical solutions are known, only numerical methods are capable of providing solutions that can be used in engineering. It is therefore necessary to build high-performance, robust and efficient numerical schemes to solve the control problem. Wavelet-based methods lie between Fourier-type spectral methods (good frequency localization) and finite element methods (good spatial localization). Based on their dual space-time localization property, wavelet bases offer a parsimonious discretization of the solution, which has the advantage of reducing the computational and memory storage cost of numerical simulations. The first objective of this thesis project is to study and implement wavelet-based numerical schemes for the control of partial differential equations. One of the main tools for studying the control problem is the duality technique [3]. This shows that the system can be controlled as soon as the adjoint model is observable [3,4]. During numerical discretization, we would like to keep this observability/controllability property of the continuous model. However, the transition from continuous to discrete is not commutative. Since the work of Glowinski [2], and more recently E. Zuazua [4,5], it has been known that this property is not preserved by classical discretization methods such as finite differences or finite elements, for the wave equation for example. The use of conventional convergent numerical schemes leads, for a large class of initial data, to a sequence of checks indicated by the approximation parameter. This sequence is non-uniformly bounded with respect to the discretization and its norm diverges exponentially. To remedy this, one solution [5] was to use two-grid approaches to filter out high-frequency spurious waves. The use of multi-scale approaches in the general case is still an open problem. It is thus hoped to use wavelet filtering to construct efficient and uniformly controllable numerical schemes, leading to reasonable stability conditions and convergence of the control norm consistent with the degree of approximation. References: 1. R. Glowinski, Ensuring well-posedness by analogy: Stokes problem and boundary control for the wave equation, J. Comput. Phys. 103 (1992), pp. 189-221. 2. R. Glowinski, C. H. Li, and J.-L. Lions, A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I). Dirichlet controls: Description of the numerical methods, Japan J. Appl. Math. 7 (1990), pp. 1-76. 3. J.-L. Lions, Contrˆolabilit'e exacte, stabilisation et perturbations de syst`emes distribu'es Tome 1. Contrˆolabilit'ee exacte. Rech. Math. Appl, Masson, 1988. 4. E. Zuazua. Control and numerical approximation of the wave and heat equations. International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, III, (2006), pp.1389-1417. 5. E. Zuazua. Propagation, observation, control and numerical approximations of waves approximated by finite difference methods. SIAM Review, 47, (2005), pp.197-243.