Approches nouvelles du « singular moduli » de Gross-Zagier

A new approach to Gross-Zagier's ''Singular Moduli''

• Auteur / Autrice : Mateo Crabit nicolau
• Direction : Julien Grivaux, Jan Vonk
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Université de Leyde (Leiden)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Théorie des nombres

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des nombres

Formes modulaires

Forme modulaires de Hilbert

Number Theory

Modular forms

Hilbert's modular forms

Résumé

Le travail de Gross-Zagier dans Singular Moduli est l'article principal étudié par Mateo Crabit pour sa thèse de Master 2. L'objectif principal de cet article est une étude minutieuse des nombres d'intersection arithmétiques des tori CM dans des algèbres de quaternions définies, expliquant les riches factorisations de différences de modules singuliers. Les techniques utilisées pour décrire ces factorisations ont été le précurseur du célèbre travail de Gross-Zagier (1986) sur la relation entre les fonctions L et les hauteurs des points de Heegner sur des courbes elliptiques sur Q, donnant des résultats profonds sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Ce travail a été reconsidéré par Darmon et Vonk dans le contexte de tori RM, conduisant à une approche non archimédienne (p-adic) de la théorie des corps de classe explicite des corps réels quadratiques (12ème problème de Hilbert) et des propriétés arithmétiques de groupe de Mordell-Weil de courbes elliptiques sur les corps de classe d'anneau des corps quadratiques réels. Alors que les techniques archimédiennes de Gross-Zagier ont jusqu'à présent principalement servi d'inspiration pour les résultats non-archimédiens de Darmon-Vonk dans la configuration quadratique réelle, il s'avère que cette nouvelle méthode p-adic suggère diverses façons de revisiter le système archimédien de Gross-Zagier Un exemple est fourni par le travail récent de Giampietro et Darmon (2022), qui ont étudié la factorisation d'un invariant rationnel associé à une paire de points CM sur une courbe de Shimura de genre zéro. Cet invariant est obtenu comme le rapport de croisement des valeurs CM d'un générateur de son corps de fonctions (plutôt que les différences des valeurs CM de l'invariant j, l'acteur principal dans Gross-Zagier). Ils ont établi une formule conjecturale pour ces factorisations, étayée par de nombreuses preuves numériques. Leur conjecture a été récemment prouvée par Mike Daas, dans le cadre de sa thèse de doctorat à Leiden sous la direction de J. Vonk. La preuve de Daas est frappante, en ce sens qu'elle évite d'invoquer la théorie de la multiplication complexe ou l'interprétation modulaire des courbes de Shimura. Ses méthodes impliquent plutôt la théorie des familles p-adiques de formes modulaires de Hilbert. Ceci est particulièrement frappant lorsqu'il est complété par la perspective de prouver les principales conjectures des aspects de la théorie RM étudiés par Darmon-Vonk, où de telles interprétations globales de modules ne sont pas disponibles. Puisque la conjecture de Darmon--Giampietro (maintenant un théorème de Daas) est globale, il est naturel de se demander s'il existe une preuve purement archimédienne de ce résultat qui invoque des homologues archimédiennes de ces techniques. Cette question est d'une importance capitale pour comprendre les liens entre le programme classique de Kudla et son homologue p-adique émergent ; un thème qui a récemment gagné en popularité, comme en témoigne par exemple la récente conférence ``Arithmetic theta series and p-adic modular forms'' (Cetraro 3‑7 juin 2024) où les liens entre les communautés archimédiennes et non archimédiennes étaient le thème principal. Divers efforts ont été faits pour combler le fossé entre les méthodes très différentes couramment utilisées par les membres de ces deux communautés. Le point de départ de ce projet de thèse est de donner une preuve purement archimédienne du théorème de Daas. Une étude approfondie des quantités résultant de cette preuve permettra d'élucider davantage le lien émergent entre les programmes Kudla archimédiens et non archimédiens. On mettra un accent particulier sur la relation entre les déformations Galoisienne du côté p-adique et les formes de Maass harmoniques faibles et les classes d'extension des modules (g,K) de l'autre côté, comme cela apparaît dans le travail de Kudla--Bringmann (2016), et l'étudiant aura pour objectif de produire un cadre général unifiant ces nouvelles techniques.

The seminal work of Gross--Zagier on singular moduli (Crelle 1984) is based on classical complex multiplication theory, the j-invariant and Hilbert modular forms for real quadratic fields. It is the main paper studied by Mateo Crabit for his Master 2 thesis. The main objective of this paper is a careful study of arithmetic intersection numbers of CM tori in definite quaternion algebras, prescribing the rich prime factorisations of differences of singular moduli. The techniques used to describe these factorisations were the precursor of the celebrated work of Gross-Zagier (1986) on the relation between L-functions and heights of Heegner points on elliptic curves over Q yielding profound results on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. Over the last years, this classical work has been reconsidered by Darmon and Vonk in the context of RM tori, leading to a non-archimedean (p-adic) approach to explicit class field theory of real quadratic fields (Hilbert's 12th problem) and arithmetic properties of Mordell--Weil groups of elliptic curves over ring class fields of real quadratic fields. Whereas the archimedean techniques of Gross-Zagier have until now mainly served as an inspiration for the non-archimedean results of Darmon-Vonk in the real quadratic setup, it turns out that this new non-archimedean approach suggests various ways to revisit the archimedean setup of Gross-Zagier. An illustrative example is furnished by the recent work of Giampietro and Darmon (2022), who investigated the prime factorisation of a rational invariant associated to a pair of CM-points on a genus zero Shimura curve. This invariant is obtained as the cross-ratio of CM-values of a generator of its function field (rather than differences of CM values of the j-invariant, the main actor in Gross-Zagier). They stated a conjectural formula for these factorisations, supported by lots of numerical evidence. Their conjecture has been recently proved by Mike Daas, as part of his PhD thesis in Leiden under the guidance of J. Vonk. The proof of Daas is striking, in the sense that it avoids any need to invoke the theory of complex multiplication or the moduli interpretation of Shimura curves. His methods involve instead the theory of p-adic families of Hilbert modular forms, and their associated Galois deformations. This is especially striking when complemented with the prospect of proving the main conjectures of the aspects of RM theory studied by Darmon-Vonk, where such global moduli interpretations are not available. Since the conjecture of Darmon--Giampietro (now a theorem of Daas) is global, it is natural to ask whether there is a purely archimedean proof of this result that invokes archimedean counterparts of these techniques. This question is of central importance to understanding the connections between the classical Kudla programme, and its emergent p-adic counterpart; a theme that has recently gained popularity, as evidenced for instance by the recent conference ``Arithmetic theta series and p-adic modular forms'' (Cetraro 3-7 June 2024) where connections between the archimedean and non-archimedean communities were the main theme. (https:// sac2024.sciencesconf.org/). Various efforts have been made to bridge the gap between the vastly different methods commonly used by the archimedean and non-archimedean sides of the community. The starting point of this thesis project is to give a purely archimedean proof of the theorem of Daas. A careful investigation of the quantities arising in this proof will be used to further elucidate the emerging connection between the archimedean and non-archimedean Kudla programmes. Special emphasis will be put on the relation between Galois deformations on the p-adic side, and weak harmonic Maass forms and extension classes of (g,K)-modules on the other side, as appearing in the work of Kudla--Bringmann (2016), and the student will aim to produce a general framework unifying these new techniques.