Étude de l'influence d'aléas sur le comportement des solutions d'EDP dispersives non linéaires

On the influence of randomness on the behaviour of nonlinear dispersive PDEs.

• Auteur / Autrice : Nicolas Lindstrom
• Direction : Nicolas Burq
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Edp

Aléatoire

Nlse

Dispersive

Non linéaire

Schrödinger

Pde

Random

Nlse

Dispersive

Nonlinear

Schrödinger

Résumé

Le sujet de cette thèse portera sur les équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires avec des données initiales aléatoires. Le premier volet étudiera les mesures quasi-invariantes pour l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) avec un potentiel dépendant du temps, en généralisant les résultats de Bourgain sur le tore T2. Cela me permettra de me familiariser avec le sujet et d'obtenir rapidement des résultats. Le second volet se concentrera sur la compréhension des cascades d'énergie dans un cadre simple. Des travaux antérieurs ont montré que pour presque toutes les données initiales dans Hs ×Hs−1(T3), l'équation d'onde cubique non linéaire est globalement bien posée si s ≥ 0. Ce résultat a été généralisé par d'autres chercheurs à des non-linéarités sous-quintiques et quintiques, fournissant des familles de mesures de probabilité dépendant du temps. Ces mesures encodent l'évolution statistique du système et aident à comprendre les transitions de basse à haute fréquence. Un troisième développement proposera d'étudier si l'effet régularisant pour NLS, observé dans un cadre déterministe, se généralise à d'autres types d'EDP comme KdV et KP. Cette étude, inspirée par des idées d'EDP à données initiales aléatoires, vise à explorer des effets similaires dans différents modèles.

The subject of this thesis will focus on nonlinear partial differential equations (PDEs) with random initial data. The first part will study quasi-invariant measures for the nonlinear Schrödinger equation (NLS) with a time-dependent potential, generalizing Bourgain's results on the torus T2. This will allow me to familiarize myself with the subject and quickly obtain results. The second part will focus on understanding energy cascades in a simple framework. Previous work has shown that for almost all initial data in Hs × Hs−1(T3), the cubic nonlinear wave equation is globally well-posed if s ≥ 0. This result has been generalized by other researchers to sub-quintic and quintic nonlinearities, providing families of time-dependent probability measures. These measures encode the statistical evolution of the system and help to understand transitions from low to high frequencies. A third development will propose studying whether the regularizing effect for NLS observed in a deterministic framework can be generalized to other types of PDEs such as KdV and KP. This study, inspired by ideas from PDEs with random initial data, aims to explore similar effects in different models.