Convergence Faible et Incertitude de Modèle (CoFIMo)

Weak convergence and model uncertainty (WeCoMU)

• Auteur / Autrice : Alexandre Delorme
• Direction : Laurence Carassus, Laurent Di menza
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : MA - Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences du Numérique et de lu2019Ingénieur
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : (LMR) Laboratoire de Mathématiques de Reims

Mots clés

Mots clés libres

Contrôle stochastique

Investissement optimal

Probabilités

Finance et économie mathématique

Théorie de la mesure

Convergence; Incertitude de modèle; modèles non dominés.

Measure theory

Financial and economics mathematics

Probability

Stochastic control

Optimal investment

Model uncertainty ; nondominated model

Résumé

RESUME COURT L'objectif de cette thèse est d'étudier des problèmes de finance et d'économie mathématique liés à la convergence de modèles complètement discrets (en temps et en états de monde) vers des modèles continus, plus particulièrement dans le contexte de choix de portefeuille. Ces résultats sont très importants pour la convergence des schémas numériques. Ces problématiques seront étudiées avec et sans incertitude de modèle. RESUME ETENDU La convergence de modèles complètement discrets (en espace des états de la nature et en temps) vers des modèles continus est un sujet important pour les problèmes d'ordre numérique comme la convergence des schémas. Il est également intéressant d'un point de vue conceptuel puisqu'ils montrent la convergence de marchés incomplets (voir Carassus et Rásonyi [2007a et b]) vers des marchés complets. Bien que le sujet soit ancien (voir Prigent [2003]), des articles récents de Bayraktar et al. [2020] et Kreps et Schachermayer [2020] fournissent de nouveaux résultats. La question principale de la thèse est la suivante : Étant donné une fonction d'utilité et une suite de marchés financiers avec des actifs sous-jacents (Sn)n∈N qui convergent faiblement vers S, sous quelles conditions les fonctions valeurs, les richesses optimales des problèmes de maximisation d'espérance d'utilité et les prix d'utilité convergent-ils vers les valeurs correspondantes pour le modèle donné par S ? Dans un premier temps, nous nous intéresserons à la convergence des fonctions valeurs, des richesses optimales et des prix d'utilité dans le cadre du modèle de maximisation d'espérance d'utilité Von Neumann-Morgenstern à une seule croyance. Bayraktar et al. [2020] proposent des conditions de convergence de la fonction valeur et de la richesse terminale optimale dans le cas d'une fonction d'utilité définie sur (0;∞), et sous des hypothèses fortes que nous proposons d'assouplir. Dans un deuxième temps, nous ferons une application numérique de ces résultats sous nos nouvelles conditions. Puis, nous nous proposons de traiter le cas, non encore traité et plus délicat, d'une fonction d'utilité définie sur IR. Nous pourrons alors considérer pour les expériences numériques une fonction d'utilité exponentielle. La dernière partie de la thèse est complètement novatrice car elle se propose d'étudier la convergence des fonctions valeurs et des stratégies optimales dans le cadre d'incertitude de modèle. Le cadre envisagé est celui de Rásonyi et Meireles-Rodrigues [2021]. Les résultats prévus permettront de mieux comprendre l'articulation théorique discret/continu dans ces problèmes de théorie de la décision. Ils fourniront également une base théorique pour la convergence de schémas numériques dans les problèmes de choix de portefeuille.

Description of the research problem: SHORT SUMMARY The aim of this thesis is to study problems in finance and mathematical economics related to the convergence of fully discrete models (in time and states of the world) to continuous models, in particular in the context of portfolio choice. These results are very important for the convergence of numerical schemes. These problems will be studied with and without model uncertainty. EXTENDED SUMMARY The convergence of fully discrete models (in space of states and in time) to continuous models is an important topic for numerical problems such as scheme convergence. They are also interesting from a conceptual point of view, since they show the convergence of incomplete markets (see Carassus and Rásonyi [2007a and b]) to complete markets. Although the subject is quite old (see Prigent [2003]), recent papers by Bayraktar et al [2020] and Kreps and Schachermayer [2020] provide new results. The main question of the thesis is the following: Given a utility function and a sequence of financial markets with underlying assets (Sn)n∈N that converge weakly to S, under which conditions do the value functions, the optimal wealth and the utility prices converge to the corresponding quantities for the model given by S? First, we will focus on the convergence of value functions, optimal wealth and utility prices in the context of the (one-prior) Von Neumann-Morgenstern model of maximization of expected utility. Bayraktar et al [2020] propose convergence conditions for the value function and optimal terminal wealth in the case of a utility function defined on (0;∞), and under strong assumptions that we propose to relax. In a second step, we will make a numerical application of these results under our weker assumptions. Then, we will study the case, not yet treated and more delicate, of a utility function defined on IR. We can then consider an exponential utility function for numerical experiments. The last part of the thesis is completely innovative, as it proposes to study the convergence of value functions and optimal strategies under model uncertainty. The framework considered is that of Rásonyi and Meireles-Rodrigues [2021]. The expected results will provide a better understanding of the discrete/continuous theoretical articulation in these decision problems. They will also provide a theoretical basis for the convergence of numerical schemes in portfolio choice problems.