Modèles aléatoires pour des dynamiques proies prédateurs : spatialisation des interactions

Random models for prey-predator dynamics: spatialisation of interactions

• Auteur / Autrice : Maxence Baccara
• Direction : Jean-René Chazottes, Vincent Bansaye
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Physique
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Physique Theorique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Physique Mathématique

Mots clés

Mots clés libres

Écologie des populations

Processus de naissance et mort avec interactions

Marches aléatoires

Random walks

Birth-death processes with interactions

Population ecology

Résumé

Pour décrire la dynamique d'un système écologique dans lequel plusieurs espèces interagissent, au moins trois ingrédients doivent être simultanément considérés : 1) comment varient le nombre et la répartition des consommateurs (ou prédateurs) et de ressources (ou proies) dans un environnement, 2) comment s'effectuent les interactions entre individus, 3) comment les interactions entre individus se traduisent en naissance et mort. A l'échelle macroscopique, le modèle classique décrivant un tel système est celui du système déterministe de Lotka- Volterra, et ses nombreuses variantes avec réponses fonctionnelles ou spatialisation. Ces trois ingrédients sont alors généralement implicitement supposés partager les mêmes échelles de temps, avec une hypothèse de mélange (au moins local) permettant de négliger la structuration spatiale dans la forme des interactions, en la réduisant directement à une densité dépendance (possiblement locale). Quand une telle hypothèse de mélange est faite, des approximations ont été obtenues grâce à des techniques de moyennisation, avec échelles lente-rapide, en dimension infinie (Bansaye et Cloez, 2023). Ces résultats permettent d'intégrer un effet de mémoire en partant du comportement individuel. L'hypothèse de mélange, même locale, est rarement satisfaite ou vérifiable en écologie. Dans cette thèse, nous chercherons à la relâcher, en partant des modèles stochastiques, au niveau individuel, et en mettant en évidence des régimes différents en fonction des échelles impliquées dans les interactions. L'enjeu principal est de tenir compte finement de la structure spatiale, via l'ensemble aléatoire couvert par les prédateurs. Le recouvrement de l'espace par une marche aléatoire est une question fondamentale et des résultats spectaculaires ont été obtenus, notamment sur la forme des fluctuations en dimension 2, qui sont à la fois de fortes amplitudes et non gaussiennes (Le Gall, 1986). Très récemment, leur rôle dans la stochasticité des vitesses de consommation a été mis en évidence (Bansaye et al, 2024). Dans cette thèse, nous chercherons à aller plus loin et nous voulons établir des convergences au niveau des populations, c'est à dire mettre en évidence la dynamique macroscopique émergente du nombre de proies et de prédateurs. D'un point de vue mathématique, cela passera par l'obtention de convergences fonctionnelles pour décrire le nombre de sites visités et la zone couverte au cours du temps. Cela nous amènera aussi à prendre en compte plusieurs prédateurs, ainsi que les naissances et les morts. Nous pourrons commencer par le cas de la dimension 1, pour lequel l'ensemble couvert est simple à décrire puisque connexe, et certaines estimations plus explicites. D'un point de vue des applications et de la biologie, nous espérons mettre en place de nouveaux modèles pour comprendre et prédire l'évolution de populations en interaction.

To describe the dynamics of an ecological system in which several species interact, at least three ingredients need to be considered simultaneously: 1) how the number and distribution of consumers (or predators) and resources (or prey) vary in an environment, 2) how interactions between individuals take place, 3) how interactions between individuals result in births and deaths. On a macroscopic scale, the classic model describing such a system is the deterministic system of Lotka-Volterra, and its many variants with functional responses or spatialisation. These three ingredients are then generally implicitly assumed to share the same time scales, with an assumption of (at least local) mixing that allows spatial structuring in the form of interactions to be neglected, by reducing it directly to a (possibly local) density dependency. When such a mixing assumption is made, approximations have been obtained using averaging techniques, with slow-fast scales, in infinite dimension (Bansaye and Cloez, 2023). These results make it possible to incorporate a memory effect based on individual behaviour. The mixing hypothesis, even at local level, is rarely satisfied or verifiable in ecology. In this thesis, we seek to relax it, starting with stochastic models, at the individual level, and highlighting different regimes depending on the scales involved in the interactions. The main challenge is to take fine account of spatial structure, via the random ensemble covered by predators. The coverage of space by a random walk is a fundamental issue, and spectacular results have been obtained, notably on the shape of fluctuations in dimension 2, which are both high amplitude and non-Gaussian (Le Gall, 1986). Very recently, their role in the stochasticity of consumption rates has been demonstrated (Bansaye et al, 2024). In this thesis, we want to go further and establish convergences at the population level, i.e. highlight the emerging macroscopic dynamics of the number of prey and predators. From a mathematical point of view, this will involve obtaining functional convergences to describe the number of sites visited and the area covered over time. This will also involve taking into account several predators, as well as births and deaths. We can start with the case of dimension 1, for which the set covered is simple to describe because it is connected, and certain estimates are more explicit. In terms of applications and biology, we hope to develop new models for understanding and predicting the evolution of interacting populations.