Système d'Einstein--Dirac : dispersion et stabilité

The Einstein--Dirac : dispersion and stability

• Auteur / Autrice : Lamberto Tresoldi
• Direction : Anne-Sophie De suzzoni
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMLS - Centre de mathématiques Laurent Schwartz
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse et EDP

Mots clés

Mots clés libres

Relativité générale

EDP dispersives

Équation de Dirac

General relativity

Dispersive PDEs

Dirac equation

Résumé

L'équation de Dirac modélise l'évolution libre d'une particule de spin un-demi avec des corrections relativistes. Dans un espace-temps courbe, c'est-à-dire dans une variété munie d'une métrique lorentzienne, l'équation de Dirac dépend de la géométrie, mais aussi de l'algèbre (représentation de groupe) induite par le type de particule que nous considérons. La motivation physique derrière cette équation est qu'elle s'inscrit dans la théorie plus générale des champs quantiques en espace-temps courbe, qui est une approximation à basse énergie à la fois des boucles gravitationnelles et de la théorie des cordes. Il existe un moyen naturel de combiner la relativité générale et les équations de Dirac en espace-temps courbe, appelé système d'Einstein--Dirac. Il s'agit d'un système composé d'une équation d'Einstein avec un tenseur énergie-impulsion dépendant d'un spineur de Dirac, et d'une équation de Dirac dépendant de la métrique qui résout l'équation d'Einstein qui est satisfaite par ce spineur de Dirac. Pour ce projet de thèse, nous proposons d'étudier le système d'Einstein--Dirac : à la fois son caractère bien posé et la stabilité de la solution nulle. Nous proposons également d'étudier les propriétés dispersives de l'opérateur de Dirac en géométrie courbe et en particulier, les estimations dispersives ponctuelles (jusqu'à présent, seules des estimations de Strichartz ont été prouvées) qui seraient nécessaires pour prouver les résultats de stabilité. Une bonne question serait celle la dispersion de l'opérateur de Dirac dans un trou noir (en rotation ou non selon la complexité des arguments).

The Dirac equation models the free evolution of a spin one half particle with relativistic corrections. In curved space-time, that is in a manifold endowed with a Lorentzian metrics, the Dirac equation depends on the geometry, but also on the algebra (group representation) induced by the type of particle we consider. The physical motivation behind this equation is that it is inscribed in the more general Quantum Field Theory in curved space-time, which is a low energy approximation of both gravitational loops and string theory. There is a natural way to combine general relativity with Dirac equations in curved space-time, which is called the Einstein--Dirac system. Namely, it consists in a system of an Einstein equation with stress-energy tensor depending on a Dirac spinor, and of a Dirac equation depending on the metrics that solves the Einstein equation which is satisfied by said Dirac spinor. For this PhD project, we propose to study the Einstein--Dirac system : both its well-posedness theory and the stability of zero. Along the way, we propose to study dispersive properties of the Dirac operator with curved geometry as a background and in particular, punctual dispersive estimates (so far, only Strichartz estimates have been proved) which would be necessary to prove stability results. A good issue would also be the dispersion of the Dirac operator when the background is a black hole (rotating or not depending on the complexity of the arguments).