Gros groupes de tresses

Big braid groups

• Auteur / Autrice : Ekaterina Kuritsina
• Direction : Stéphane Sabourau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMA -- Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

Mots clés

Mots clés libres

Groupes de tresses

Difféotopie

Relation d'ordre

Braid groups

Mapping class group

Orderability

Résumé

Le sujet de la thèse se situe dans le domaine de la géométrie et de la topologie en dimension deux, et ses liens avec la théorie des noeuds. L'objectif principal est de développer une théorie de « gros groupes de tresses », en généralisant un travail de Wiest [6]. Pour chaque entier n ≥ 2, le groupe de tresses Bn peut être défini de plusieurs manières : comme groupe de difféotopies d'un disque privé de n points (MCG(Dn)), comme groupe de générateurs et de relations, comme groupe de tresses géométriques (voir par exemple [3]). Dans [6], Wiest a considéré une généralisation de ce groupe : le groupe de difféotopies de la surface. Il a montré que ce groupe est aussi un groupe de tresses géométriques et qu'il est ordonnable (i.e. il admet un ordre sur ses éléments qui est invariant par multiplication à gauche). Notons également que les groupes de tresses Bn sont aussi ordonnables, et que leur ordonnabilité est un sujet très étudié (voir [2]). Les disques privés d'un nombre fini de points sont des examples de surfaces `a bord de type fini (i.e. dont le groupe fondamental est de type fini). Par contre, la surface S considérée par Wiest est une surface de type infini (son groupe fondamental n'est pas de type fini). Depuis une dizaine d'années, l'étude des surfaces de type infini et de leurs groupes de difféotopies a connu une grande expansion et il existe une communauté de recherche internationale très active qui s'intéresse à ce sujet. Il est donc très naturel de voir si le travail de Wiest peut être étendu à d'autres surfaces (planaires) de type infini, si l'on peut utiliser ce point de vue pour mieux comprendre les groupes de difféotopies des surfaces de type infini et si l'on peut aussi voir des liens avec la théorie des noeuds. Les premières étapes seront de déterminer pour quelles surfaces à bord on peut interpréter le groupe de difféotopies comme groupe de tresses géométriques. Enfin, on va s'intéresser aux propriétés d'ordonnabilité de ces groupes. [1] Javier Aramayona and Nicholas G. Vlamis. Big mapping class groups : an overview. In In the tradition of Thurston—geometry and topology, pages 459–496. Springer, Cham, [2020] ©2020. [2] Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. Why are braids orderable ?, volume 14 of Panoramas et Synth`eses [Panoramas and Syntheses]. Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2002. [3] Christian Kassel and Vladimir Turaev. Braid groups, volume 247 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2008. With the graphical assistance of Olivier Dodane. [4] Priyam Patel and Nicholas G. Vlamis. Algebraic and topological properties of big mapping class groups. Algebr. Geom. Topol., 18(7) :4109–4142, 2018. [5] Ian Richards. On the classification of noncompact surfaces. Trans. Amer. Math. Soc., 106 :259–269, 1963. [6] Bert Wiest. Diagram groups, braid groups, and orderability. J. Knot Theory Ramifications, 12(3) :321–332, 2003.

The subject of the thesis is in the field of geometry and topology in dimension two, and its links with knot theory. The main objective is to develop a theory of ‘large braid groups', by generalising a work by Wiest [6]. For each integer n ≥ 2, the braid group Bn can be defined in several ways: as a group of homeomorphisms of a disc deprived of n points (MCG(Dn)), as a group of generators and relations, which is a group of geometric braids (see for example [3]). In [6], Wiest considered a generalisation of this group: the mapping class group of the surface. He showed that this group is also a group of geometric braids and that it is orderable (i.e. it admits an order on its elements which is invariant by left multiplication). Note also that the braid groups Bn are also orderable, and that their orderability is a much-studied subject (see [2]). Disks without a finite number of points are examples of surfaces with border of finite type(i.e. surfaces which have finite fundamental group). On the other hand, the surface S considered by Wiest is a surface of infinite type (its fundamental group is not of finite type). Over the last ten years or so, the study of surfaces of infinite type and their mapping class groups has expanded greatly, and there is a very active international research community interested in this subject. It is therefore very natural to see whether Wiest's work can be extended to other (planar) surfaces of infinite type, whether we can use this point of view to better understand the mapping class groups of surfaces of infinite type and whether we can also see links with knot theory. The first steps will be to determine for which bordered surfaces we can interpret the mapping class group as a group of geometric braids. Finally, we will look at the ordinability properties of these groups. [1] Javier Aramayona and Nicholas G. Vlamis. Big mapping class groups : an overview. In In the tradition of Thurston—geometry and topology, pages 459–496. Springer, Cham, [2020] ©2020. [2] Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. Why are braids orderable ?, volume 14 of Panoramas et Synth`eses [Panoramas and Syntheses]. Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2002. [3] Christian Kassel and Vladimir Turaev. Braid groups, volume 247 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2008. With the graphical assistance of Olivier Dodane. [4] Priyam Patel and Nicholas G. Vlamis. Algebraic and topological properties of big mapping class groups. Algebr. Geom. Topol., 18(7) :4109–4142, 2018. [5] Ian Richards. On the classification of noncompact surfaces. Trans. Amer. Math. Soc., 106 :259–269, 1963. [6] Bert Wiest. Diagram groups, braid groups, and orderability. J. Knot Theory Ramifications, 12(3) :321–332, 2003.