Longueur finie de représentations automorphes de GL2 en caractéristique p

Finite length of automorphic representations of GL2 in characteristic p

• Auteur / Autrice : Lucrezia Bertoletti
• Direction : Christophe Breuil, Stefano Morra
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Arithmétique et géométrie algébrique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Représentation de GL2

Longueur finie

Caractéristique p

Representation of GL2

Finite length

Characteristic p

Résumé

Soit p un nombre premier et K une extension finie non ramifiée de Qp. On fixe une représentation continue absolument semi-simple ρ : Gal(K^alg/K) → GL2(E) où E est une ``grande'' extension finie du corps fini Fp. Soit r : Gal(F^alg/F) → GL2(E) une globalisation absolument irréductible de ρ, c'est-à-dire qu'il existe une place v d'un corps totalement réel F divisant p tels que K=Fv et la restriction de r à un sous-groupe de décomposition en v est ρ. On considère alors la représentation lisse de GL2(K) sur E définie comme suit : π_{U^v}(r) := Hom_{Gal(F^alg/F)}( r, indlim_{U_v ⊆ GL2(K)} H^1_{et}( X_{U^vUv}×_F F^alg, E ) ) où U^v est un sous-groupe ouvert compact des adèles finis hors v de F et X_{U^vUv} est une courbe de Shimura sur F de niveau U^vUv. Le problème principal de cette thèse est de montrer que, pour ρ et r suffisamment génériques et sous des conditions techniques faibles (mais précises) sur F et X_{U^vUv}, les représentations de GL2(K) π_{U^v}(r) sont de longueur finie. Dans un travail récent, Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen montrent que, au moins pour ρ semi-simple, une variante de π_{U^v}(r) vérifiant des propriétés de ``multiplicité 1'' est de longueur finie. Cette variante consiste à remplacer π_{U^v}(r) par une représentation (lisse admissible) de GL2(K) sur E de la forme : Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v} π_{U^v}(r) )[m] où U_0^v est un sous-groupe ouvert compact spécifique des adèles finis hors v, M^v une certaine représentation de dimension finie de U_0^v sur E et m un idéal maximal d'une certaine algèbre de Hecke agissant sur Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v} π_{U^v}(r) ). La représentation Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v} π_{U^v}(r) )[m] a l'avantage sur la représentation π_{U^v}(r) qu'elle vérifie des propriétés de ``multiplicité 1'' qui sont utilisées dans la preuve de sa longueur finie (et qui lui confèrent des propriétés plus fortes, par exemple elle est irréductible lorsque ρ l'est). Cependant, sa définition est très technique et n'est pas naturelle (comme il est déjà clair sur l'expression ci-dessus...). Le problème de cette thèse est donc de voir si les méthodes et techniques de Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen peuvent être adaptées et généralisées pour montrer que, même si la représentation π_{U^v}(r) n'a plus de propriétés de multiplicité 1, elle reste de longueur finie, avec si possible une borne supérieure sur sa longueur dépendant d'éventuelles multiplicités (à définir).

We let p be a prime number and K a finite unramified extension of Qp. We fix a continuous absolutely semi-simple representation ρ : Gal(K^alg/K) → GL2(E) where E is a ``large'' finite extension of the finite field Fp. Let r : Gal(F^alg/F) → GL2(E) be an absolutely irreducible globalization of ρ, i.e. there is a finite place v of a totally real number field F dividing p such that K=Fv and the restriction of r to a decomposition group at v is ρ. We then consider the smooth admissible representations of GL2(K) over E defined by π_{U^v}(r) := Hom_{Gal(F^alg/F)}( r, indlim_{U_v ⊆ GL2(K)} H^1_{et}( X_{U^vUv}×_F F^alg, E ) ) where U^v is prime-to-v level, i.e. a compact open subgroup of the finite adeles of F outside v, and X_{U^vUv} is a Shimura curve over F of level U^vUv. The main problem of the thesis is to prove that, for ρ and r sufficiently generic and under weak technical assumptions on F and X_{U^vUv} (all these assumptions being precise), the GL2(K)-representations π_{U^v}(r) are of finite length. It was recently proved by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen that, at least for ρ semi-simple, a ``multiplicity 1'' variant of π_{U^v}(r) is of finite length. This variant consists in replacing π_{U^v}(r) by a (smooth admissible) representation of GL2(K) over E of the form Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v} π_{U^v}(r) )[m] where U_0^v is a specific prime-to-v level, M^v a certain finite dimensional representation of U_0^v over E and m a maximal ideal in a certain Hecke algebra acting on Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v}π_{U^v}(r) ). The representation Hom_{U_0^v}( M^v, indlim_{U^v}π_{U^v}(r) )[m] has the advantage over the representation π_{U^v}(r) that it satisfies certain multiplicity 1 assumptions that are used in the proof of its finite length (and imply stronger results, for instance its irreducibility when ρ is irreducible). However, its definition is cumbersome and not natural (as it cleary appears on the above definition...). The problem asked in this thesis is therefore to see if the methods and techniques of Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen can be adapted and generalized to prove that, even though π_{U^v}(r) does not satisfy multiplicity 1 assumptions, it is still of finite length, with hopefully an upper bound on its length depending on some (to be defined) multiplicities.