Propriétés multiplicatives d'entiers voisins, combinatoire des diviseurs et sommes d'exponentielle

Multiplicative properties of neighboring integers, combinatorics of divisors and exponential sums

• Auteur / Autrice : Olivier GARçONNET
• Direction : Sary Drappeau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Mots clés

Mots clés libres

Théorie multiplicative des nombres

Nombres premiers

Sommes d'exponentielles

Multiplicative number theory

Prime numbers

Exponential sums

Résumé

Dans cette thèse de théorie analytique des nombres, nous travaillerons sur les propriétés multiplicatives de paires d'entiers voisins, comme le problème des diviseurs de Titchmarsh, qui a pour but d'estimer le nombre moyen de diviseurs des entiers de la forme p-1, p premier. Un théorème de Goudout implique que la repartition de ces diviseurs suit une loi gaussienne autour de loglog(x). De notre côté, nous chercherons une propriété similaire autour de 2loglog(x), que nous chercherons à étendre aux entiers n ayant k facteur premier avec k de l'ordre de loglog(x). Ensuite, nous verrons ce qu'il se passe quand n a beaucoup de facteurs premiers. La densité très faible de ces nombres rend les méthodes connues difficiles à mettre en oeuvre. Dans cette thèse nous serons amenés à utiliser des outils divers de l'analyse et de l'arithmétique.

In this thesis on analytical number theory, we will work on properties of neighboring integer pairs, such as the problem of Titchmarsh divisors to estimate the average number of divisors of integers of the form p-1, where p is prime. A theorem by Goudout implies that the distribution of their prime divisors follows a Gaussian law around log log x. We will seek a similar property around 2loglog(x), which we will extend to integers having k prime factors with k<loglog(x). Then, we will see what happens when n has many prime factors. The very low density of these numbers makes the known methods difficult to implement. In this thesis, we will use various tools of analysis and arithmetic.