Involution de Mullineux pour les algèbres de Hecke, dualité niveau-rang.

Mullineux involution for Hecke algebras, level rank duality.

• Auteur / Autrice : Anthony Masson
• Direction : Nicolas Jacon
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences de l'univers
• Date : Inscription en doctorat le 16/09/2024
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences du Numérique et de lu2019Ingénieur
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Reims

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des représentations

Combinatoire algébrique

Algèbres de Hecke

Groupes quantiques

Representation Theory

Algebraic Combinatorics

Hecke algebras

Quantum groups

Résumé

Le principal but de cette thèse est d'étudier une importante application apparaissant en théorie des représentations des groupes symétriques et d'algèbres associées : l'involution de Mullineux. Cette application peut être vue comme l'analogue de la conjugaison de partition dans le cas modulaire, c'est à dire en caractéristique positive. Il y a une longue histoire autour de cette application, une première description conjecturale a été donnée par Mullineux, dans les années 70 dans [6], et plusieurs papiers ont ensuite donné des preuves de cette conjecture [5], mais aussi de nouvelles façons de calculer l'application [7, 3]. Dans [4], N.Jacon et C.Lecouvey ont exploré une nouvelle voie permettant de calculer l'application. La procédure repose sur une propriété conjecturale et purement combinatoire qu'il convient de montrer. Celle-ci est liée à la théorie des cristaux pour les groupes quantiques. Le premier but de cette thèse sera de donner une preuve de cette conjecture. Nous pensons que celle-ci est liée à un phénomène remarquable des cristaux : la dualité niveau-rang, étudiée dans [2]. Nous aimerions ainsi comprendre ces connections. Ensuite, l'idée serait d'explorer l'analogue de ce problème en niveau supérieur afin d'obtenir de nouvelles propriétés sur l'involution de Mullineux. Dans un premier temps, on pourra utiliser le livre [1] qui contient tout ce qu'il faut savoir sur cette théorie. Il sera probablement nécessaire de travailler sur des programmes informatiques, en utilisant GAP ou SAGE.

The main aim of this thesis is to study a famous map appearing in the representation theory of the symmetric groups and related algebras: the Mullineux involution. This map can be seen as the analogue of the conjugation of partitions, in the modular case, that is in positive characteristic. There is a long history around this map: a first conjectural description has been given by Mullineux in the 70s in [6], and several papers have given a proof of this conjecture [5] as well as other procedures to compute this map [7, 3]. In [4], N.Jacon and C.Lecouvey have explain a new conjectural and efficient way to compte the Mullineux map. This procedure is relied with the theory of crystal graphs for quantum groups and based on a purely combinatorial property. The first aim of this thesis is to give a proof for this combinatorial property. It is likely that the level rank duality as studied in [2] will play an important role in this conjecture. The second aim will be to elucidate this connection. Then, we plan to study what happens in higher level. The hope is to obtain new important properties on this important map. The first task will be to study the books [1] which contain all what is needed to begin the research work. Probably, explicit computer calculations will be necessary, using GAP or SAGE.