Suites et automates d'ordre supérieur

Higher-order sequences and automata

• Auteur / Autrice : Vincent Ghigo
• Direction : Vincent Penelle
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Méthodes et Modèles formels

Mots clés

Mots clés libres

Suites récurrentes

Dénombrement

Automates

Recurrent sequences

Automata

Counting

Résumé

1 Contexte scientifique ------------------------------ Étant donné un ensemble d'objets E le nombre d'objets de taille n u_n := Card({e ∈ E | taille(e) = n} est une suite de nombres. Un ensemble E peut être décrit par une grammaire, un automate qui le reconnait, une propriété géométrique, etc... Une suite (u_n) peut être décrite par une équation vérifiée par le vecteur (u_n , u_{n+1} , ..., u_{n+k−1} ), une équation vérifiée par la série somme des u_n X^n , un automate (ou transducteur) calculant u_n à partir de n etc ... Nous nous intéressons au problème du dénombrement, qui consiste à passer d'une description de E à une description de u_n et au problème de la représentation qui consiste à passer d'une description de u_n à une description d'un ensemble E, aussi simple et naturel que possible. Ce deuxième type de problème est soulevé dans [Bousquet-Mélou, STACS 2005]. 1.1 Suites et automates concernés --------------------------------- Les séries rationnelles sont très classiques ([Berstel-Reutenauer 1984]). Les automates à pile de piles ont été introduits par Maslov ([Maslov, 1976]) et reconnaissent les langages d'index. Les suites calculées par des automates à pile d'ordre k forment l'ensemble de suites S_k (A^∗ , N) (étudiées par [Fratani et alii, 2006]). Les suites P-récurrentes (équivalentes aux séries D-finies [Stanley, 1980]) et les séries DD-finies ([Jimenez et alii, 2021]) forment deux classes intermédiaires entre les séries rationnelles et les suites récurrentes polynomiales. 1.2 Correspondances déjà connues -------------------------------------- Des liens étroits ont été établis entre: 1- les séries rationnelles à croissance polynomiale et les modèles de certaines formules logiques MSO sur les mots ([Colcombet et alii 2023]), 2- les suites qui dénombrent les modèles de formules MSO sur les graphes et les transducteurs dynamiques ([Courcelle-Durand, 2016]), 3- les séries rationnelles et les automates à pile de piles ([Ferté et alii, 2014]), 4- les suites P-récurrentes et les marches dans le quart de plan ([Kotek et alii, 2012]), 5- les suites récurrentes polynomiales et les automates à pile de piles de piles ([Fratani and et, 2006],[Sénizergues, 2023]). Remarquons que les liens 1,2,4 se font via le dénombrement: les suites comptent les objets décrits par des formules. Les liens 3,5 se font via le calcul: les suites sont calculées par les automates. -------------------------------------------------------------------- 2 Travail à réaliser -------------------------------------------------------------------- Nous proposons au doctorant de: - introduire des familles d'ensembles de mots (ou d'arbres, ou de marches dans le plan, ...) dont le dénombrement fournisse des suites rationnelles, P-récurrentes, DD-finies, polynomiales,etc ... - montrer des thórèmes de dénombrement (d'objets par des suites): les objets pourraient être les mots engendrés par des grammaires, ou bien les arbres de dérivation de ces grammaires. Le doctorant pourra puiser dans la littérature de théorie des langages formels des classes de grammaires intermédiaires entre les grammaires context-free et les grammaires d'index, qui pourraient correspondre à des classes de suites intermédiaires entre les suites vérifiant des récurrences linéaires et les suites vérifiant des récurrences polynomiales. Le but ultime serait de mettre au point des caractérisations de classes de suites par des classes de langages (de mots ou d'arbres) via une relation de dénombrement. On pourra envisager de donner des énoncés valables pour les classes de suites S_k(A^∗ , N), pour tout k ≥ 2.

1- Scientific context: ---------------------- Given a set of objects E , the number of such pbjects, with size n u_n := Card({e ∈ E | size(e) = n} is an integer sequence. A set E can be defined through a grammar (that generates E), an automaton (which recognizes E), a geometric property (that characterizes the members of E), etc. A sequence can be described by an equation for the vector (u_n , u_{n+1} , ..., u_{n+k−1}), an equation for the series sum_n^infty u_n X^n , an automaton (or a transducer) that computes u_n from n, etc. We are interested in the 'counting problem' that consists in finding, for a given description of E, a description of the sequence u_n. We are also interested in the 'representation problem' that consists in finding, for a given integer sequence u_n, a set of objects E which is counted by u_n. This last kind of problem was raised in [Bousquet-Melou, STACS 2005]. 1.1 Sequences and automata -------------------------- Rational series are well-known ([Berstel-Reutenauer 1984]).The pushdown automata of level 2 have been introduced by [Maslov, 1976] and recognize exactly the indexed languages (defined by [Aho, 1968]. The integer sequences computed by the pushdown automata of level k are constituting the family S_k(A^∗ , N) (studied in [Fratani et alii, 2006]). The P-recurrent integer sequences are the coefficients of the D-finite series [Stanley, 1980]), which have been generalized into the DD-finite series ([Jimenez et alii, 2021]). These last two classes of sequences are intermediate between the rational sequences and the recurrent polynomial sequences. 1.2 Some known correspondences ------------------------------ Some tight relations have been established so far between: 1- the rational series with polynomial growth and the models of certain MSO logical formulas over words ([Colcombet et alii 2023]), 2- the sequences counting the models of some MSO formulas over graphs and some dynamic transducers ([Courcelle-Durand, 2016]), 3- the rational series and the pushdown automata of level 2 ([Ferté et alii, 2014]), 4- the P-recurrent sequences and some walks in the quarter-plane ([Kotek et alii, 2012]), 5- the polynomial recurrent sequences and the pushdown automata of level 3 ([Fratani et alii, 2006],[Sénizergues, 2023]). Let us note that the links 1,2,4 are going through counting: the sequences are counting the objects described by the logical formula. Links 3,5 are going through computation: the sequences are computed by the automata. ---------------------------------------------------------------------- 2 The proposed work ---------------------------------------------------------------------- We propose that the student: - define some families of sets of words (or trees, or walks, ...) whose counting sequence might be rational, P-recurrent, DD-finite, polynomial recurrent, etc ... - prove some theorems establishing that some kinds of objects are counted by some kinds of sequences, or that all sequences of some kind can be represented by a set of objects of some corresponding kind. Candidates for these representing objects could be words or trees generated by grammars. The student will take advantage of all the litterature in formal language theory that introduces types of grammars that are intermediate between the context-free grammars and the index grammars. The ultimate goal is to produce some characterisations of some classes of integer sequences by some classes of languages via counting. One can hope for such characterisations of the classes S_k(A^∗,N), for all k ≥ 2.