Ondes amorties sans contrôle géométrique : croissance de résolvante et taux de décroissance

Damped waves without geometric control: resolvent growth and decay rates

• Auteur / Autrice : Arthur Yax
• Direction : Matthieu Leautaud
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Équation des ondes amorties

Contrôle d'équation au dérivées partielles

Croissance de résolvante

Analyse semiclassique

Analyse microlocale

Damped waves equation

Control of partial differential equation

Resolvent growth

Semiclassical analysis

Microlocal analysis

Résumé

Ce sujet de thèse vise à comprendre les taux de décroissance pour l'équation des ondes amorties dans des situations où la condition de contrôle géométrique n'est pas satisfaite. On s'intéressera tout d'abord à améliorer l'estimation inférieure de la résolvante, dans le cas où cette dernière n'est pas bornée sur l'axe imaginaire (ce qui est équivalent à ne pas satisfaire la condition de contrôle géométrique (GCC)), et à décrire plus précisément les ensembles sur l'axe imaginaire où la résolvante est grande, grâce à des méthodes semiclassiques. Pour réaliser ce travail, on s'inspirera notamment des travaux de Semyon Dyatlov et Alden Waters que l'on adaptera au contexte de l'équation des ondes amorties. Dans un second temps, on s'intéressera à l'équation des ondes localement non amorties, où, lorsque GCC n'est pas satisfaite, le taux de décroissance de l'énergie pour des données plus lisses (respectivement la croissance de la résolvante) dépendent principalement de la dynamique du flot géodésique. Une fois la géométrie fixée, les taux de décroissance dépendent alors du ''taux auquel la fonction d'amortissement s'annule''. Il a été montré, dans les travaux de Matthieu Léautaud et Nicolas Lerner, que sous certaines hypothèses on pouvait obtenir une estimation supérieure optimale de la résolvante de l'équation des ondes localement non amortie. On s'intéressera à généraliser cette étude.

This PhD topic aims to understand the decay rates for the damped wave equation in situations for which the geometric control condition is not satisfied. First, attention will be given to improving the lower bound estimation of the resolvent, in cases where it is unbounded on the imaginary axis (which is equivalent to not satisfying the Geometric Control Condition (GCC)), and to more precisely describe the sets on the imaginary axis where the resolvent is large, using semiclassical methods. To accomplish this, inspiration will be drawn from the works of Semyon Dyatlov and Alden Waters, which will be adapted to the context of the damped wave equation. Next, we will focus on the locally undamped wave equation, for which, when the Geometric Control Conditions GCC fails, the decay rates of the energy for smoother data (resp. the growth of the resolvent) depend in the first place on the dynamics of the geodesic flow. Once the geometry is fixed, the decay rates then depend on the ''rate at which the damping function vanishes''. It has been shown, in the works of Matthieu Léautaud and Nicolas Lerner, that under certain assumptions one could obtain an optimal upper bound estimation of the resolvent of the locally undamped wave equation. The aim is to generalize this study.