Méthodes et applications de l'optimisation conique en nombres mixtes

Methods and applications of conic optimization in mixed numbers

• Auteur / Autrice : Hubert Villuendas
• Direction : Jerôme Malick
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique de Grenoble
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : MESCAL - Middleware efficiently scalable (ancien ID)

Mots clés

Mots clés libres

Mathématiques Appliquées

Optimisation

Recherche Opérationnelle

Problèmes Combinatoires

Applied mathematics

Optimization

Operations Research

Combinatorial problems

Résumé

L'optimisation conique en nombres mixtes (MICO) est une classe de problèmes d'optimisation où des variables de décision prennent des valeurs entières et des contraintes peuvent s'exprimer comme l'appartenance à un cône convexe. L'optimisation conique généralise l'optimisation linéaire en introduisant des non-linéarités “structurées” et reste largement accessible à travers des solveurs dédiés via des interfaces de modélisation. Cependant l'addition de variables en nombres entiers combinée aux non-linéarités reste un défi pour la résolution de MICO, qui capture un grand nombre de problèmes essentiels en science des données, en ingénierie, en apprentissage automatique ou encore en théorie des graphes. En effet, MICO ne peut pas exploiter directement sur les résultats de l'optimisation linéaire en nombres mixtes, ces derniers s'appuyant sur de nombreuses propriétés polyhédrales. Les méthodes de résolution pour MICO développées dans les dernières années proposent des approches de branch-and-bound, des approximations externes polyhédrales et des méthodes de plans coupants spécifiques aux problèmes coniques. Cette thèse à pour but de développer de nouvelles méthodes de résolution exacte pour des problèmes MICO, à la fois dans leur généralité et en exploitant la structure spécifique de certaines familles de problèmes. Deux grandes catégories d'applications sont les problèmes combinatoires et leurs relaxations, et des problèmes mixtes convexes d'apprentissage. Des relaxations semi-définies positives ont longtemps été proposées pour des problèmes combinatoires sur graphes, mais leur utilisation pour un algorithme exact complet pose encore typiquement de nombreuses questions algorithmiques. Ces deux catégories présentent des structures différentes d'ensembles réalisables et différentes approches seront proposées, basées sur des coupes ou inégalités valides linéaires ou coniques. La thèse proposera en particulier la généralisation de familles de coupes de Gomory et disjonctives à des cônes convexes. Certains problèmes MICO, bien que pouvant être résolus approximativement en temps polynomial, deviennent rapidement trop coûteux ou numériquement instables comme relaxations. Nous étudierons la génération d'inégalités valides efficaces, parcimonieuses et stables pour des problèmes semi-définis positifs, exponentiels et puissance.

Mixed number conic optimisation (MICO) is a class of optimisation problems where decision variables take integer values and constraints can be expressed as membership of a convex cone. Cone optimisation generalises linear optimisation by introducing ‘structured' non-linearities, and remains widely accessible through dedicated solvers via modelling interfaces. However, the addition of integer variables combined with non-linearities remains a challenge for solving MICO, which captures a large number of essential problems in data science, engineering, machine learning and graph theory. Indeed, MICO cannot directly exploit results from mixed-number linear optimisation, which relies on many polyhedral properties. The solution methods for MICO developed in recent years propose branch-and-bound approaches, polyhedral external approximations and cutting plane methods specific to conic problems. The aim of this thesis is to develop new exact solution methods for MICO problems, both in their generality and by exploiting the specific structure of certain families of problems. Two main categories of applications are combinatorial problems and their relaxations, and mixed convex learning problems. Positive semi-definite relaxations have long been proposed for combinatorial problems on graphs, but their use for a complete exact algorithm typically still raises many algorithmic questions. These two categories present different structures of feasible sets and different approaches will be proposed, based on valid linear or conic cuts or inequalities. In particular, the thesis will propose the generalisation of families of Gomory and disjunctive cuts to convex cones. Some MICO problems, although solvable approximately in polynomial time, quickly become too costly or numerically unstable as relaxations. We will study the generation of efficient, parsimonious and stable valid inequalities for positive semidefinite, exponential and power problems.