Utilisation des signatures et de la topologie des données en détection d'anomalies et traitement du signal.

Using signature and Topology of Data for anomaly detection and signal processing.

• Auteur / Autrice : Rémi Vaucher
• Direction : Stéphane Chretien
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2025
• Etablissement(s) : Lyon 2
• Ecole(s) doctorale(s) : InfoMaths - Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : ERIC
• Jury : Président / Présidente : Julien Jacques
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Chretien, Lyudmila Grigoryeva, Gabriela Ciuperca, Frederic Chazal, Badih Ghattas, Marianne Clausel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Badih Ghattas, Marianne Clausel

Mots clés

Mots clés libres

Signatures

Séries Temporelles

Topologie des Données

Détection d'anomalies

Traitement du signal

Signatures

Time Series

Topology of Data

Anomaly Detection

Signal processing

Résumé

Ces dernières années, la détection d'anomalies s'est imposée comme une problématique majeure dans le domaine industriel. Parallèlement, les entreprises ont mis en place de nombreuses solutions de surveillance en ligne. En combinant ces deux aspects, les algorithmes de détection d'anomalies doivent pouvoir s'appliquer aux signaux évolutifs dans le temps. Dans cette optique, nous introduisons comme outil principal la signature d'un chemin rugueux (rough path). Cet outil, développé en 1954 par K.T. Chen dans le cadre de la géométrie théorique, a été remis en avant par T. Lyons en 1998 dans le cadre des équations différentielles stochastiques impliquant des chemins rugueux. Depuis une vingtaine d'années, cet outil a entraîné une amélioration considérable de la performance de certains algorithmes appliqués aux séries temporelles. Par ailleurs, son introduction a permis la réussite d’un algorithme de reconnaissance d’écriture chinoise. Ce qui est particulièrement intéressant, c'est que l'espace des signatures $G(R^d) subset T(R^d)$ est doté d'une structure de groupe de Lie : nous obtenons donc un homomorphisme de groupe pour les opérations importantes, accompagné d’un homéomorphisme pour le transport de la topologie. Tout le long de ce manuscrit, le fil conducteur principal est l’étude des signaux temporels par le biais de leur organisation topologique. C'est pourquoi nous transposons ces signaux dans l'espace des signatures. Nous introduisons alors une série d'outils issus du champ de l'analyse topologique des données (TDA). Ce domaine de l'analyse statistique a émergé avec le travail d'Edelsbrunner en 2002. La TDA repose sur un principe très intuitif : un nuage de points possède une forme. Une application de ce principe dans notre contexte serait que les données fonctionnelles ont une forme sous-jacente, difficilement visualisable, dont une modification peut traduire une anomalie. Dans cette thèse, nous débutons par une démonstration de la puissance statistique (et topologique) des signatures sur des processus stochastiques modélisant un taux de biomarqueurs cancéreux. Ensuite, nous proposons un algorithme de création de structure topologique sur l'espace des signatures, en veillant à ce que cette structure reflète celle des signaux considérés. Nous approfondissons cet algorithme en introduisant un algorithme de sélection de variables et en présentant certains résultats obtenus. Enfin, un dernier chapitre s'intéresse à la détection d'anomalies par génération aléatoire de signaux temporels multivariés, en utilisant les deux outils précédemment mentionnés.

In recent years, anomaly detection has become a major issue in the industrial sector. At the same time, companies have implemented numerous online monitoring solutions. By combining these two elements, anomaly detection algorithms must be able to apply on time-evolving signals. With this goal in mind, we introduce the signature of a rough path as the main tool. This tool, developed in 1954 by K.T. Chen within the framework of theoretical geometry, was brought back to the forefront by T. Lyons in 1998 in the context of stochastic differential equations involving rough paths. Over the past twenty years, this tool has led to a drastic improvement in the performance of some algorithms applied to time series data. Furthermore, its introduction enabled the success of an algorithm for Chinese handwriting recognition. An interesting aspect is that the signature space $G(R^d) subset T(R^d)$ is equipped with a Lie group structure: this provides us with a group homomorphism for key operations, along with a homeomorphism for topology transport. Throughout this manuscript, the main thread is the study of temporal signals through their topological organization. For this reason, we map these signals to the signature space. We then introduce a series of tools from the field of Topological Data Analysis (TDA). This field from statistics emerged from Edelsbrunner's work in 2002. TDA is based on a highly intuitive principle: a point cloud has a shape. A variation of this principle in our context would be that functional data have an underlying, difficult-to-visualize shape, whose alteration can indicate an anomaly. In this thesis, we begin by demonstrating the statistical (and topological) power of signatures on stochastic processes modeling a cancer biomarker rate. Next, we propose an algorithm to create a topological structure in the signature space, ensuring that this structure reflects that of the signals being considered. We build on this algorithm by introducing a variable selection method and presenting some obtained results. Finally, a concluding chapter focuses on anomaly detection by randomly generating multivariate time signals using the two previously mentioned tools.