Le Principe d'Incertitude sur les Groupes

The Uncertainty Principle on Groups

• Auteur / Autrice : Emma Weschler
• Direction : Gautami Bhowmik
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Principe d'incertitude

Groupes

Combinatoire additive

Transformée de Fourier discrète

Uncertainty principle

Groups

Additive combinatorics

Discrete Fourier transform

Résumé

L'étude des principes d'incertitude a commencé avec Heisenberg en 1927. La motivation pour étudier ce principe, qui dit que la variance d'une fonction et de sa transformée de Fourier ne peuvent pas être petites toutes les deux, est venue de la mécanique quantique. Motivés par les applications au traitement du signal, Donoho et Stark ont initié l'étude d'un nouveau type de principe d'incertitude, qui ne concerne pas des fonctions définies sur ℝ mais plutôt des fonctions définies sur des groupes finis. Cette étude a conduit au développement de la théorie des nombres et de la combinatoire additive. Par exemple, une nouvelle démonstration de Tao du théorème classique de Cauchy-Davenport sur les sommes d'ensembles de ℤ/pℤ. Nous attendons d'autres résultats de nature additive qui vont découler des principes d'incertitudes, notamment en étudiant les autres groupes. Il faudrait des nouvelles notions de support, comme par exemple dans l'extension par Meshulam ou encore par Wigderson et Wigderson du théorème de Donoho-Stark à certains groupes non-abéliens.

The study of uncertainty principles began with Heisenberg in 1927. The motivation for studying this principle, which states that the variance of a function and its Fourier transform cannot both be small, came from quantum mechanics. Motivated by applications in signal processing, Donoho and Stark initiated the study of a new type of uncertainty principle, which concerns not functions defined on ℝ but rather functions defined on finite groups. This study led to the development of number theory and additive combinatorics. For example, Tao provided a new proof of the classical Cauchy-Davenport theorem on sums of sets in ℤ/pℤ. We expect other additive results to follow from the uncertainty principles, particularly by studying other groups. New notions of support are needed, such as in the extension by Meshulam or by Wigderson and Wigderson of the Donoho-Stark theorem to certain non-abelian groups.