Étude d'un groupe de transformations birationnelles de l'espace projectif

Study of a group of birational maps of the projective space

• Auteur / Autrice : Jean-Baptiste Stiegler
• Direction : Thomas Gauthier, Ramanujan Santharoubane
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Topologie et dynamique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Degrés dynamiques

Variété de Caractères

Groupe de Cremona

Fonction hauteur canonique

Dynamical degrees

Canonical height functions

Character variety

Cremona group

Résumé

L'étude des propriétés de fonctions holomorphes discrètes, et plus particulièrement de l'existence de courbes discrètes périodiques 1 a attiré une attention croissante ces dernières années. Un tel problème se traduit donc en termes de l'étude dynamique d'une transformation birationnelle F : P^N ---> P^N. Plus précisément, il se ramène à la question de l'existence d'attracteurs topologiques pour F. Les premiers invariants à calculer pour étudier la dynamique de telles transformations sont ses degrés dynamiques λ_1, . . . , λ_N ≥ 1. Dans le cas qui nous intéresse, ceux-ci sont tous égaux à 1. En particulier, l'entropie topologique de F est nécessairement nulle, puisque h_top(F) ≤ log max_i λ_i = 0, d'après Dinh et Sibony. On s'attend donc à ce que cette application possède certaines formes de rigidités dynamiques, comme l'existence d'une fibration invariante en dimension 2. Cette transformation possède par ailleurs de mauvaises propriétés spectrales : son action par tiré en arrière sur la cohomologie n'est pas stabilisable au sens où il n'existe pas de modification X → PN telle que (F^n)∗ : H∗(X) → H∗(X) coïncide avec (F∗)^n pour tout n ≥ 1. Les techniques classiques que nous possédons sont donc inutiles pour l'étude de cette application particulière. Il se trouve que la transformation F : P^N ---> P^N introduite précédemment peut se décrire une composition φ_{i_1} ◦ · · · ◦ φ_{i_l} de tranformations birationnelles ne faisant intervenir que 3 coordonnées successives dans un système de coordonnées homogènes. Le travail proposé dans ce sujet de thèse consiste à étudier plus largement ce type de transformations. Le groupe Γ := ⟨φ1,...,φN⟩ est donc l'objet d'étude proposé. Il s'agit d'un sous-groupe de groupe de Cremona Bir(P^N). Le sujet proposé s'articule autour de plusieurs aspects de l'étude du groupe Γ. 1) Structure du groupe Γ. On s'attend à ce que Γ soit un quotient d'un produit libre Z/2Z ⋆ · · · ⋆ Z/2Z, où les relations intervenant sont des relations de type tresse. En particulier, si N > 1, on s'attend à ce que Γ contienne un groupe libre à deux générateurs. 2) Dynamique du groupe Γ. Une fois l'étude de la structure du groupe complète, on peut également mettre à profit cette étude dans la compréhension de sa dynamique. En effet, on peut se donner une marche aléatoire sur Γ, les travaux de Furstenberg sous-tendent alors l'existence d'une mesure stationnaire pour l'action de Γ sur un ouvert de Zariski de P^N invariant par Γ. Dans une série de travaux importants, Cantat et Dujardin ont classifié les mesure stationnaires - et les mesures invariantes - pour des groupes d'automorphismes de surfaces K3 de présentation finie qui contiennent un groupe libre d'indice fini. On pourra également explorer cette direction. 3) Arithmétique et rigidité pour la dynamique du groupe Γ. Même si cela n'apparaît pas clairement dans la définition rapide du groupe Γ proposée ici, les générateurs φi sont des transformations définies sur Q, i.e. leurs coefficients sont des nombres rationnels. On dispose donc de toute la palette des outils de la théorie algébrique des nombres et de la géométrie d'Arakelov pour aborder l'étude dynamique du groupe Γ. On dispose en particulier de la notion de fonction hauteur de Weil h : X(Q^alg) → R sur une variété projective X définie sur un corps de nombre, qui permet de mesure la “complexité arithmétique” d'un point x ∈ X(Q^alg). Par une construction remontant à Tate, lorsqu'on dispose d'un morphisme f : X → X qui satisfait une certaine condition de polarisation, on peut construire une hauteur canonique h_f = lim λ^{−n} h◦f^n qui mesure la proximité arithmétique d'un point à être (pré)périodique. On pourra alors tenter de construire une telle fonction hauteur pour les éléments de notre groupe, ainsi qu'une 'hauteur stationnaire' pour le groupe tout entier.

The study of the properties of discrete holomorphic functions, and more particularly of the existence of discrete periodic curves 1, has attracted increasing attention in recent years. Such a problem thus translates in terms of the dynamical study of a birational transformation F: P^N ---> P^N. More precisely, this reduces to the question of the existence of topological attractors for F. The first invariants to calculate when studying the dynamics of such transformations are its dynamical degrees λ_1, . . . , λ_N ≥ 1. In our case of study, these are all equal to 1. In particular, the topological entropy of F is necessarily zero, since h_top(F) ≤ logmax_i λ_i = 0, according to Dinh and Sibony. We therefore expect this application to have certain forms of dynamical rigidities, such as the existence of an invariant fibration in dimension 2. This transformation also has poor spectral properties: its action by pulling back on the cohomology is not stabilizable in the sense that there does not exist a modification X → PN such that (F^n)∗: H∗(X) → H∗(X) coincides with (F∗)^n for all n ≥ 1. The classical techniques that we have at hand are therefore useless for the study of this particular application. It turns out that the transformation F: P^N ---> P^N introduced previously can be described as a composition φ_{i_1} ◦ · · · ◦ φ_{i_l} of birational transformations involving only 3 successive coordinates in a homogeneous coordinate system. The work proposed in this thesis subject consists of studying this type of transformations more broadly. The group Γ := ⟨φ1,...,φN⟩ is therefore the proposed object of study. It is a subgroup of the Cremona group Bir(P^N). This thesis proposal revolves around several aspects of the study of the Γ group. 1) Structure of the group Γ. We expect that Γ is a quotient of a free product Z/2Z ⋆ · · · ⋆ Z/2Z, where the intervening relations are of braid type. In particular, if N > 1, we expect Γ to contain a free group with two generators. 2) Dynamics of the group Γ. Once the study of the structure of the group is complete, we can also use this study to understand its dynamics. Indeed, we can give ourselves a random walk on Γ, the work of Furstenberg then underlies the existence of a stationary measure for the action of Γ on a Zariski open subset of P^N invariant by Γ. In a series of important works, Cantat and Dujardin classified stationary measures - and invariant measures - for groups of automorphisms of K3 surfaces of finite presentation which contain a free group of finite index. We can also explore this direction. 3) Arithmetic and rigidity for the dynamics of the group Γ. Even if it does not appear clearly in the quick definition of the group Γ proposed here, the generators φi are transformations defined on Q, i.e. their coefficients are rational numbers. We therefore have the entire range of tools from algebraic number theory and Arakelov geometry to approach the dynamic study of the group Γ. In particular, we have the notion of a Weil height function h: X(Q^alg) → R on a projective variety X defined on a number field, which allows measuring the “arithmetic complexity” of a point x ∈ X(Q^alg). By a construction going back to Tate, when we have a morphism f : X → X the arithmetic proximity of a point to being (pre)periodic. We can then attempt to construct such a height function for the elements of our group, as well as a 'stationary height' for the entire group.