Autour de l'unicité des solutions du flot de Kähler-Ricci asymptotiquement coniques

On the uniqueness of asymptotically conical solutions to Kähler Ricci flow

• Auteur / Autrice : Longteng Chen
• Direction : Alix Deruelle
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse harmonique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Flot de Ricci

Géométrie Kählerienne

EDPs

Ricci flow

Kähler geometry

PDEs

Résumé

Nous allons travailler avec une type d'équation géométrique très importante dans la recherche moderne de la géométrie différentielle, disons le flot de Ricci. Étant donnée une variété M^n connexe différentiable de classe C^∞ de dimension n, une famille de métriques riemanniennes sur M à un paramètre définie sur un intervalle du type (0, T) o`u T est un nombre positif strict éventuellement infini, notée (g(t))t∈(0,T ), est une solution au flot de Ricci si elle satisfait l'équation d'évolution suivante: g'(t) = −2Ric(g(t)), t ∈ (0, T) (1) R.Hamilton a posé l'équation du flot de Ricci (1) dans les années 80s et bien étudié l'existence et l'unicité de telle équation dans le cas compact. Dans le cas non compact, l'existence et l'unicité probablement ne sont plus garanties sans les hypothèses sur la courbure pour la solution. On connaît relativement moins l'unicité de telles solutions non classiques dans des dimensions plus élevées par rapport à nos connaissances sur les existences. Toutefois, dans la catégorie kählerienne, en 2003, M. Feldman, T. Ilmanen et D. Knopf ont construit un type de solutions particulières, appelées solitons de Kähler-Ricci, qui présentent un comportement asymptotiquement conique dans les fibrés de droite de CP^n. Ainsi, notre intérêt se concentrera sur l'unicité des solutions du flot de Ricci, qui présente un comportement asymptotiquement conique dans une variété kählerienne non compacte.

We will work with a type of geometric equation that is very important in modern research in differential geometry, namely the Ricci flow. Given a differentiable connected manifold ( M^n ) of class ( C^infty ) of dimension ( n ), a one-parameter family of Riemannian metrics on ( M ) defined on an interval of the form ( (0, T) ), where ( T ) is a strictly positive number that may be infinite, denoted ( (g(t))_{t in (0, T)} ), is a solution to the Ricci flow if it satisfies the following evolution equation: [ g'(t) = -2 , text{Ric}(g(t)), quad t in (0, T) ] R. Hamilton formulated the Ricci flow equation (1) in the 1980s and thoroughly studied the existence and uniqueness of such an equation in the compact case. In the non-compact case, existence and uniqueness are probably no longer guaranteed without curvature assumptions for the solution. We know relatively less about the uniqueness of such non-classical solutions in higher dimensions compared to our knowledge about their existence. However, in the Kähler category, in 2003, M. Feldman, T. Ilmanen, and D. Knopf constructed a type of particular solutions, called Kähler-Ricci solitons, which exhibit asymptotically conical behavior in the line bundles of ( mathbb{CP}^n ). Thus, our interest will focus on the uniqueness of Ricci flow solutions that exhibit asymptotically conical behavior in a non-compact Kähler manifold.