Analyse numérique et contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles d'ordre deux en temps

Numerical analysis and controllability of some second-order in time partial differential equations

• Auteur / Autrice : Ana-maria Orita
• Direction : Nicolae Cindea, Ionel Roventa
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Fondamentales
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal

Mots clés

Mots clés libres

Contrôlabilité

Équations aux dérivées partielles

Analyse numérique

Numerical analysis

Controllability

Partial differential equations

Résumé

Ce projet de thèse est centré autour de l'approximation numérique des contrôles minimisant certains critères pour des équations aux dérivées partielles d'ordre deux en temps. Quelques exemples de telles équations sont l'équation des ondes, le système de l'élasticité ou encore les équations des plaques. Tous ces modèles ont en commun un certain nombre de propriétés comme la conservation de l'énergie (dans le cas linéaire et homogène). Entre autres, pour tous les trois équations citées plus haut on observe, pour certaines discrétisations numériques, une perte d'uniformité de la constante d'observabilité par rapport aux paramètres de discrétisation ce qui engendre une non-convergence des contrôles discrets vers les contrôles continus. Le but de cette thèse est d'étudier l'influence de la discrétisation et du choix de la méthode numérique sur l'approximation des contrôles minimisant un certain critère pour des équations aux dérivées partielles de second ordre en temps. Cette thèse a deux objectifs assez complémentaires. Un premier objectif est d'étudier l'uniformité de la constante d'observabilité pour l'équation des ondes en fonction du pas de discrétisation en espace pour des maillages non-uniformes. Des simulations numériques préliminaires indiquent que, pour un schéma à différences finies et un maillage à deux pas de discrétisation étant beaucoup plus fin au voisinage de la frontière où le contrôle agit, la constante d'observabilité associée est uniforme par rapport au paramètre de discrétisation en espace. Dans cette même direction et avec des méthodes similaires, nous étudierons l'uniformité de la constante d'observabilité pour l'équation des ondes pour une discrétisation du Laplacien uni-dimensionnel à l'aide des différences finies d'ordre 2. Plus exactement, l'opérateur discret ainsi obtenu a une structure assez similaire à celui utilisé pour discrétiser le bilaplacien uni-dimensionnel. Le deuxième objectif de la thèse est d'étudier la convergence d'une méthode de décomposition de domaine pour l'approximation du contrôle de norme L2 minimale pour des équations aux dérivées partielles d'ordre deux en temps. Nous proposons de résoudre la formulation mixte associée à la condition d'optimalité caractérisant le contrôle à l'aide d'une méthode de décomposition de domaine de Schwarz. Cela permettra de paralléliser le calcul et, ainsi, nous pourrons approcher numériquement le contrôle pour des EDP en dimension deux ou trois ou encore pour des EDP présentant d'opérateurs différentiels d'ordre élevé, comme par exemple pour l'équation des plaques. Le fait, de diminuer le temps de calcul et de pouvoir utiliser plus de ressources de mémoire permettra également le calcul numérique des contrôles optimaux pour des systèmes plus complexes, éventuellement non-linéaires. Dans un premier temps de la thèse, le doctorant devrait se familiariser avec la contrôlabilité des équations aux dérivées partielles et aux méthodes numériques pour les problèmes de contrôle. Le premier objectif devrait permettre au candidat de commencer à connaître la riche littérature sur le sujet et de publier un article dans un journal de spécialité du domaine. En parallèle, le candidat réalisera une étude bibliographique sur l'utilisation des méthodes de décomposition de domaine pour la résolution des formulations mixtes et se formera sur l'implémentation numérique de telles méthodes. Nous envisageons obtenir un résultat de convergence des contrôles ainsi que la mise en œuvre d'un solveur parallèle pour le calcul du contrôle de norme L2 minimale pour les équations des ondes et des plaques. Cette thèse est financée par l'action « Analyse numérique, optimisation et contrôle de quelques équations aux dérivées partielles » du Centre International de Recherche 'Systèmes Innovants pour les Transports et la Production' de l'I-SITE CAP 20-25.

This thesis project focuses on the numerical approximation of controls minimizing certain criteria for second-order in time partial differential equations. Some examples of such equations are the wave equation, the elasticity system or the plate equations. All these models have a number of properties in common, such as energy conservation (in the linear, homogeneous case). Among other things, for all three equations mentioned above, we observe, for certains numerical discretizations, a loss of uniformity of the observability constant with respect to the discretization parameters, resulting in a non-convergence of discrete controls to continuous one. The aim of this thesis is to study the influence of discretization and choice of numerical method on the approximation of controls minimizing a certain criterion for this type of equations. This thesis has two complementary objectives. A first objective is to study the uniformity of the observability constant for the wave equation as a function of the discretization step in space for non-uniform meshes. Preliminary numerical simulations indicate that, for a finite-difference scheme and a mesh with two discretization steps being much finer in the vicinity of the boundary where the control acts, the associated observability constant is uniform with respect to the discretization parameter in space. In the same direction and with similar methods, we will study the uniformity of the observability constant for the wave equation for a one-dimensional Laplacian discretization using second-order finite differences. More precisely, the discrete operator thus obtained has a structure quite similar to that used to discretize the one-dimensional Laplacian. The second objective of the thesis is to study the convergence of a domain decomposition method for the approximation of minimal L2 norm control for second-order partial differential equations in time. We propose to solve the mixed formulation associated with the optimality condition characterizing the control using a Schwarz domain decomposition method. This will allow to parallelize the computation and, thus, to numerically approximate the control for PDEs in dimension two or three, or for PDEs with high-order differential operators, such as the plate equation. Reducing computation time and using more memory resources will also enable the numerical calculation of optimal controls for more complex, possibly non-linear, systems. In the first phase of the thesis, the PhD candidate should become familiar with the controllability of partial differential equations and with numerical methods for control problems. The first objective should enable the candidate to become familiar with the rich literature on the subject and to publish a research article. In parallel, the candidate will carry out a bibliographical study on the use of domain decomposition methods for solving mixed formulations, and learn about the numerical implementation of such methods. We expect to obtain a control convergence result, as well as the implementation of a parallel solver for the computation of the minimum L2 norm control for the wave and plate equations. This thesis is funded by the 'Numerical analysis, optimization and control of some partial differential equations' action of the International Research Center 'Innovative Systems for Transportation and Production' of the I-SITE CAP 20-25.