Modélisation mathématique et numérique des milieux granulaires élasto-visco-plastiques

Mathematical and numerical modeling of elasto-visco-plastic granular media

• Auteur / Autrice : Maëlle Labeille
• Direction : Pierre Saramito, Didier Bresch
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : EDP

Mots clés

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Méthode des éléments finis

Mécanqiue des fluides

Mathématiques appliquées

Modélisation numérique

Partial differential equations

Finite elements method

Fluid mechanics

Applied mathematics

Numerical modelling

Résumé

Les milieux granulaires sont constitués d'un grand nombre de grains en contact frottant. Ils font émerger des propriétés à grande échelle qui les apparentent à des fluides complexes, avec des états tantôt solide, liquide ou gazeux. Les milieux granulaires interviennent dans notre environnement : avalanches et coulées de boue, mouvement du sable et dunes, des plaques de la banquise. On les retrouve dans l'industrie avec le béton, la peinture, ou les silos de grain. La modélisation continue des milieux granulaires pose actuellement un défi scientifique : les modèles proposés précédemment par les physiciens se sont récemment avérés mal-posés sur le plan mathématique. L'idée directrice de cette thèse est d'élaborer une nouvelle modélisation continue qui soit à la fois satisfaisante du point de vue mathématique et qui soit pertinente du point de vue de la physique. Nous attendons tout d'abord de ce travail une meilleure connaissance des milieux granulaires : par une étude approfondie de modèles mathématiques de complexité croissante, nous apporterons une meilleure compréhension des mécanismes collectifs mis en œuvre. Il s'agira en particulier de comprendre et de quantifier les ingrédients mécaniques, tels l'effet de retard sur les pressions ou les contraintes, tel qu'il est observé expérimentalement et qu'il apparaît dans la structure mathématique des modèles. À plus long terme, les résultats obtenus permettront d'aborder l'application à des problèmes géophysiques concrets, tels les glissement de terrain ou les avalanches. Les retombées attendues sont des données et publications, que nous proposerons intégralement en accès libre, en nous inscrivant résolument dans la démarche d'une science ouverte. De façon similaire, les outils logiciels développés seront mis à disposition de tous sous licence GPL. Cela aura un effet structurant sur la communauté scientifique concernée, en bénéficiant aux expérimentateurs physiciens et géophysiciens. Enfin, les outils mathématiques et méthodes numériques ainsi développés seront susceptibles de bénéficier à d'autres applications telles que les suspensions concentrées de particules ou les mouvements de foules et la circulation automobile : en effet, tous ces problèmes mettent en œuvre des mouvements collectifs, avec un comportement anisotrope induit par la microstructure.

Granular media consist of a high number of grains in frictional contact. Some properties making them behave like complex fluids arise at large-scale, with varying states of matter solid, liquid or gaseous. Granular media naturally appear in our environment: avalanches and landslides, dynamics of sand and dunes, drift of sea ice. We also find them in the industry, with concrete, paint, or grain silos. Continuum modelling of granular media are currently a scientific challenge, as the models previously described by physicists have been found to be mathematically ill-posed. The main idea behind this thesis is to develop a new continuum modelling that is both satisfying from a mathematical standpoint, and relevant from a physical standpoint. We are expecting from this work a better knowledge of granular media: by studying mathematical models of an increasing complexity, we will bring new understandings of the appearing collective mechanism. We will mostly focus on understanding and quantifying the underlying mechanical ingredients, such as the delay effect on pressure and strain, as it is experimentally observed and appears in the mathematical structure of the models. In the long term, the results obtained will allow to address the application to concrete geophysical problems such as landslides or avalanches. The expected impact are data and publications that will be entirely available free of access, following the principles of an open science. In a similar fashion, the software tools developed will be available to all under GPL licence. This will have a structuring effect to the concerned scientific community by profiting to physicist and geophysicist experimenters. Finally, the mathematical tools and numerical methods developed for this thesis may be useful to different applications such as concentrated suspensions of particles or crowd motion and traffic. Indeed, all these problems are about collective motion with a microstructure inducing some anisotropic behaviour.