Résonances, flots et rigidité dynamique

Resonances, flow and dynamical rigidity

• Auteur / Autrice : Tristan Humbert
• Direction : Thibault Lefeuvre, Colin Guillarmou
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse Complexe et Géométrie

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Analyse microlocale

Rigidité

Systèmes chaotiques

Dynamical systems

Microlocal analysis

Rigidity

Chaotic systems

Résumé

Cette thèse a pour but l'étude d'un certain nombre de systèmes dynamiques via des méthodes analytiques (analyse microlocale). Il est connu que l'on peut associer aux flots d'Anosov un spectre appelé résonances de Pollicott-Ruelle. Ce spectre encode les statistiques en temps long du système (ergodicité, mélange, etc.). On utilisera cette approche spectrale pour résoudre des problèmes de dynamique, notamment autour du flot géodésique des variétés à courbure négative. L'un des objectifs majeurs de la thèse est de donner une preuve d'une version locale d'une conjecture de Katok : les seules métriques à courbure négative telles que l'entropie topologique soit égale à l'entropie métrique sont les métriques localement symétriques.

This main objective of this phd thesis is to study some dynamical systems using the tools of micro local analysis. It is now well understood that one cas associate to an Anosov flow a discrete spectrum : the Pollicott-Ruelle spectrum. This spectrum encodes the long time behavior of the dynamic (such as ergodicity, mixing...) We aim to use this spectral approach to study rigidity conjecture on negatively curved closed Riemannian manifolds. One of the main objective is to establish a local version of Katok's entropy conjecture which states that the only negatively curved metrics such that the Liouville entropy and topological entropy coincide are the locally symmetric ones.