Intégrateurs symboliques-numériques efficaces et fiables

Efficient reliable symbolic-numeric integrators

• Auteur / Autrice : Arnaud Minondo
• Direction : Joris Van der hoeven, Grégoire Lecerf
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique, données, IA
• Date : Inscription en doctorat le 31/08/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIX - Laboratoire d'informatique

Mots clés

Mots clés libres

Calcul numérique fiable

Algorithme numérique

Algorithme symbolique

Intégrateurs

Reliable computing

Integrators

Numerical algorithms

Symbolic algorithms

Résumé

Comment prédire le mouvement d'une planète, la propagation d'une épidémie ou l'évolution d'un réseau de réactions chimiques ? Voici quelques-uns des nombreux problèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDOs). La résolution de ces équations a une longue histoire et reste un problème important en science et en technologie. Un système d'équations différentielles ordinaires est donné sous la forme f'(t)=Φ(f(t)), où f:ℝ→ℝ^n est une fonction inconnue et Φ:ℝ^n→ℝ^n. Étant donné un t_0∈ℝ et une condition initiale f(t_0), le problème de résolution consiste à calculer la valeur de f à un point donné t_1∈ℝ. Si Φ a des propriétés spécifiques, la solution f peut avoir une forme close : par exemple, si Φ(f(t))=2 t, t_0=0, et f(t_0)=0, la solution est f(t)=t^2. En général, de telles solutions sous forme close n'existent pas et des algorithmes d'intégration numérique sont utilisés pour calculer des solutions approchées. Les intégrateurs numériques calculent une séquence d'approximations f˜(x_0)≈f(x_0), ..., f˜(x_ℓ)≈f(x_ℓ), où t_0=x_0<x_1<⋯<x_ℓ=t_1 et les pas x_1-x_0,...,x_ℓ-x_(ℓ-1) sont petits. Pour i=0,...,ℓ-1, on peut calculer f(x_(i+1)) à partir de f(x_i) en réécrivant l'équation en f(x_(i+1)) = f(x_i)+int_(x_i)^(x_(i+1)). Φ(f(t)) dt. Les schémas de Runge-Kutta sont un moyen populaire pour approcher les intégrales ci-dessus. Pour une méthode d'ordre k, l'erreur de f˜(x_(i+1)) est bornée par O((x_(i+1)-x_i)^(k+1)). Cette thèse porte sur la conception, l'analyse et l'implémentation logicielle d'un nouvel intégrateur fiable et efficace. En fonction de son profil, le doctorant ou la doctorante pourra choisir de mettre davantage l'accent sur les aspects théoriques ou pratiques du problème.

How to predict planetary motion, the spread of an epidemic, or the evolution of a chemical reaction network? Here are some of the many problems that can be modeled by ordinary differential equations (ODEs). The resolution of such equations has a long history and remains an important problem in science and technology. A system of ordinary differential equations is given in the form f'(t)=Φ(f(t)), where f:ℝ→ℝ^n is an unknown function and Φ:ℝ^n→ℝ^n represents the actual equations. Given a t_0∈ℝ and an initial condition f(t_0), the resolution problem consists in computing the value of f at a given point t_1∈ℝ. If Φ has specific properties, then the solution f has a closed symbolic form: for instance if Φ(f(t))=2 t, t_0=0, and f(t_0)=0, then the solution is f(t)=t^2. In general such closed forms do not exist and numerical integration algorithms are used for computing approximations of the values of f. Numerical integrators compute a sequence of approximations f˜(x_0)≈f(x_0), , f˜(x_ℓ)≈f(x_ℓ), where t_0=x_0<x_1<⋯<x_ℓ=t_1 and the steps x_1-x_0, ,x_ℓ-x_(ℓ-1) are small. For i=0, ,ℓ-1, we may compute f(x_(i+1)) from f(x_i) by rewriting the equation into f(x_(i+1)) = f(x_i)+int_(x_i)^(x_(i+1)) Φ(f(t)) dt. Runge–Kutta schemes are a popular way to approximate the above integrals. For a method of order k, the error of f˜(x_(i+1)) is bounded by O((x_(i+1)-x_i)^(k+1)). A numeric integrator for the equation f'(t)=Φ(f(t)) is said to be reliable if, for any given tolerance ε>0, it can automatically produce an approximation f~(z_1) of f(z_1) with ‖f~(z_1)-f(z_1)‖⩽ε, when it exists. Current implementations of numerical integrators are not of this type and extensive simulations are required to verify the soundness of the computed results. However, simulations can only test a finite number of examples and types of incidents; severe accidents may and indeed do happen in exceptional cases that were not covered. Enriching numerical software with automatic tools to guarantee the correctness is a major and necessary step forward to avoid such accidents. This PhD thesis concerns the design, analysis, and software implementation of a new efficient reliable integrator. Depending on her or his profile, the PhD student may chose to put greater emphasis on the theoretical or practical aspects of the problem.