Étude des hypersurfaces minimales à bord libre dans des domaines extérieurs

Study of free boundary minimal hypersurfaces in exterior domains

• Auteur / Autrice : Mathilde Parot
• Direction : Laurent Mazet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2024
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie riemannienne

Surfaces minimales

Surfaces à bord libre

Riemannian geometry

Minimal surfaces

Free boundary surface

Résumé

Dans une variété riemannienne M, on peut définir le volume de toute sous-variété. On définit ainsi une fonctionnelle sur l'ensemble des sous-variétés de M noté Vol. Une sous-variété S de M peut être déformée par une famille (phi_t) de difféomorphismes : on considère la sous-variété phi_t(S). Lorsque la famille (phi_t) est à support compact, il est légitime de calculer la dérivée frac{d}{dt} extrm{Vol}(phi_t(S)) à l'instant t=0. Si cette dérivée est nulle pour toute famille (phi_t), on dira que S est un point critique de la fonctionnelle de volume : on dit que S est une sous-variété minimale. Le caractère critique d'une telle sous-variété S se traduit en terme d'annulation de la courbure moyenne de S. Les sous-variétés minimales sont donc les sous-variétés à courbure moyenne nulle. L'étude de ces sous-variétés est d'un grand intérêt car elles permettent, par exemple, de comprendre certains liens entre la géométrie de la variété riemannienne et sa topologie. Lorsque la variété M à un bord et que S touche ce bord, le caractère critique de S par rapport à la fonctionnelle de volume Vol se traduit par une condition supplémentaire : S et partial M s'intersectent orthogonalement. Une sous-variété minimale qui touche partial M orthogonalement est dite à bord libre. L'étude des sous-variétés minimales à bord libre et plus précisément des hypersurfaces minimales à bord libre a connu un développement important ces dernières années. Dans le cas ou M est la boule unité euclidienne, il y a un fort lien entre ces objets et l'étude du spectre de l'opérateur dit de Dirichlet vers Neumann. Une des questions ouvertes les plus fascinantes est celle de la classification des anneaux minimaux plongés à bord libre dans la boule unité B^3. Dans des articles récents, les auteurs se sont intéressés à l'étude des hypersurfaces minimales à bord libre dans des variétés non compactes, plus précisément dans le complémentaire de la boule unité R^nsetminus B^n et dans l'espace de Schwarzschild qui peut être vu comme R^nsetminus B^n muni d'une métrique asymptotiquement euclidienne. L'objectif de la thèse sera d'étudier comment ces travaux peuvent se généraliser dans d'autres espaces. En particulier, est-il possible de remplacer la métrique de Schwarzschild par d'autres métriques asymptotiquement euclidiennes ? Dans un premier temps, il sera important de considérer le cas où cette métrique possède une invariance par rotation.

In a Riemannian manifold M, one can define the volume of a submanifold. Thus a functional is defined on the set of submanifolds of M, it's denoted by Vol. A submanifold S of M can be deformed by a family (phi_t) of diffeomorphisms : the submanifolds phi_t(S). When the family (phi_t) has compact support, one can compute its derivative frac{d}{dt} extrm{Vol}(phi_t(S)) at time t=0. If this derivative vanishes for anu family (phi_t), we say that $S$ is a critical point of the volume functional : S is called a minimal submanifold. Being critical for such a submanifold S can be reformulated as the vanishing of the mean curvature of S. The minimal submanifolds are those with vanishing mean-curvature. The study of such submanifolds is interestng since they allow, for example, to understand the link between the geometry of the Riemannian manifold and its topology.* When the manifold has a boundary and S touches the boundary, the crticality of S for the volume functional Vol implies a second condition: S and partial M intersect orthogonally. A minimal submanifold that touches partial M orthogonally is called free boundary. The study of free boundary minimal submanifold and more precisely free boundary minimal hypersurfaces has recieved many contributions these last years. When M is the Euclidean unit ball, the is a strong link between these objects and the spectrum of the Dirichlet to Neumann operator. One of the main open questions in the field is the classification of embedded free boundary minimal annuli in the unit ball B^3. In some recent papers, the authors were interested in the study of free boundary minimal hypersurfaces in non compact manifolds, more precisely outside of the ball R^nsetminusB^n and in the Schwarzscchild space that can be seen as R^nsetminusB^n endowed with an asymptoticaly Euclidean metric. The aim of this thesis is to study how these works can be generalized to some other ambient spaces. Actually, is it possible to replace the Schwarzschild metric by others asymptoticaly Euclidean metrics? First, it will be important to consider the case where the metric has some invariant by rotation.