Rigidité mesurée des groupes d'automorphismes d'immeubles

Measured rigidity of automorphism groups of buildings

• Auteur / Autrice : Antoine Derimay
• Direction : Jean Lecureux
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Topologie et dynamique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)

Mots clés

Mots clés libres

Immeubles

Rigidité

Fonctions harmoniques

Équivalence mesurée

Buildings

Rigidity

Harmonic functions

Measured equivalence

Résumé

Les immeubles sont des objets inventés par J. Tits lors de l'etude des groupes algébriques réductifs : à un tel groupe, on associe un immeuble sur lequel le groupe agit. La structure de ces immeubles dépend du groupe de Weyl W, qui est, dans le cas des groupes algébriques réductifs, fini. Par la suite, F. Bruhat et J. Tits ont découvert un nouvel usage de la notion d'immeuble : ils étudient les groupes réductifs, mais cette fois sur des corps locaux. Le groupe de Weyl est alors un groupe de Coxeter affine : il agit par transformations affines sur un espace euclidien. L'immeuble obtenu est un recollement des pavages de l'espace euclidien ainsi obtenus, et pour cette raison, on appelle un tel immeuble un immeuble affine. Si les immeubles ci-dessus sont sans aucun doute les plus dignes d'intérêt, il existe également d'autres exemples. En dimension 2, on peut construire bien des exemples d'immeubles affines, qui ne proviennent pas forcément de la construction de Bruhat et Tits. Certains de ces exemples ont un groupe d'automorphisme cocompact, dont la structure est intéressante à étudier. On obtient ainsi des exemples de groupes avec des propriétés très proches de celles des réseaux dans des groupes tels que $SL_d(Q_p)$. Plus précisément, il s'agirait de travailler à des résultats de rigidité en équivalence mesurée. Cette notion, introduite par Gromov comme parallèle à la quasi-isométrie, est définie comme suit : deux groupes G et H sont mesurablement équivalents (ME) s'ils admettent des actions libres et qui commutent sur un espace mesuré standard $(X,mu)$, en préservant la mesure et avec des domaines fondamentaux de mesure finie. L'exemple typique est donné par deux réseaux (pas forcément cocompacts) dans un groupe localement compact. L'objectif de cette thèse est de classifier, à mesure équivalence près, les groupes ME à un groupe $Gamma$ agissant proprement et discontinuement sur un immeuble affine X (de type $tilde A_2$ ou plus général). On s'attend en effet à ce que $Gamma$ soit très rigide : si H est ME à $Gamma$, alors H devrait agir sur le même immeuble que $Gamma$. C'est l'analogue d'un résultat de Furman pour les réseaux dans les groupes de Lie (non écrits dans le cadre $p$-adique, mais les techniques s'appliquent de la même façon). La preuve de Furman fait appel de manière cruciale au théorèmes de Margulis et son extension équivariante par Zimmer. La première étape serait donc de généraliser ces résultats de manière pertinente aux réseaux d'immeubles exotiques. Pour cela, il est important de comprendre le bord de Poisson de l'immeuble (ou du groupe), qui est un espace mesuré qui permet de décrire les fonctions harmoniques bornées. Ce bord devrait s'identifier à l'ensemble des chambres de l'immeuble sphérique à l'infini de X, muni d'une mesure adéquate. Ces questions sont intéressantes également pour elles-mêmes, les fonctions harmoniques sur les immeubles étant un sujet classique et largement étudié. Ce bord de Poisson est donc un objet à la fois probabiliste (par sa structure mesurée) et combinatoire (par sa structure d'immeuble). Le rapport entre les deux structures est assez subtil et central dans de nombreux théorèmes de rigidité, et probablement utile pour les questions que j'ai décrites ci-dessus. Indépendamment des questions de rigidité, on peut se poser de nombreuses questions : par exemple, y a-t-il plusieurs mesures sur le bord compatibles avec la structure d'immeuble ? A partir de la seule mesure (et de l'action de $Gamma$), que peut-on retrouver de la structure d'immeuble ? Une autre question connexe possible est celle de la rigidité ME des groupes agissant sur des immeubles non-affines. Des exemples particulièrement intéressants sont donnés par les groupes de Kac-Moody: ce sont des réseaux non-uniformes dans le groupe d'automorphisme de l'immeuble. On sait pour l'instant qu'il en existe une infinité qui sont deux à deux non ME, mais on s'attend à des résultats de rigidité beaucoup plus forts.

Buildings are objects introduced by J. Tits during his study of reductive algebraic groups: to such a group one can associate a building on which the group acts. The structure of these buildings depends on the Weyl group W, which is finite in the case of reductive algebraic groups. F. Bruhat and J. Tits then went on to discover a new use to the notion of a building, by studying reductive groups, but this time over local fields. The Weyl group becomes an affine Coxeter group, that is, it acts by affine transformations on some Euclidean space. The building obtained this way is a gluing of the regular tiling of the Euclidean space obtained by the Weyl group, which is why those buildings are called affine buildings. Although the aforementioned buildings are without doubt the most interesting examples of affine buildings, other examples exist. In dimension 2, one can construct many examples of affine buildings which do not come from the construction of Bruhat and Tits. Some still have a cocompact automorphism group, the structure of which is worth studying. The examples thus obtained are groups with properties resembling lattices in groups like $SL_d(Q_p)$. One such property is measured rigidity. The notion, introduced by Gromov to be a measured parallel to quasi-isometry is defined as follows: two groups G and H are said to be measure equivalent (ME) if they admit free, commuting, measure preserving actions on a standard measure space $(X,mu)$ with fundamental domains of finite measure. The typical example is given by two lattices (not necessarily uniform) in a locally compact group. The goal of this thesis is to classify, up to measure equivalence, the groups that are ME to a group $Gamma$ acting properly discontinuously on an affine building X (of type $tilde A_2$ or more general). Indeed, it is expected that $Gamma$ be very rigid: any group H ME to $Gamma$ should act on the same building $Gamma$ acts on. This would be the analog of a result due to Furman in the case of lattices in Lie groups (not written in the non-Archimedean case, although the same techniques apply). The base of Furman's proof rests on the theorems of Margulis, as well as its equivariant extension by Zimmer. The first step would then be to generalize these results in a meaningful way to lattices of exotic buildings. To that end, it is important to understand the Poisson boundary of the building (or the group), which is a measured space which encompasses the bounded harmonic functions on the building. This boundary should be identifiable with the set of chambers at infinity of X, along with an adequate measure. These questions are interesting in their own right, as harmonic functions on buildings are a very studied and classical subject. This Poisson boundary is therefore an object both probabilistic (by its measured structure), and combinatorial (by its building structure). The interplay between the two is quite subtle and central to several rigidity theorems, and most likely useful for the questions mentioned above. Even outside of rigidity questions, several other questions can be asked: are there multiple measures on the boundary which are compatible with the building structure? Based on the sole data of the measure and the action of $Gamma$, is it possible to recover the building structure? Another possible connected question is that of ME rigidity for groups acting on buildings of non-affine type. Particularly interesting examples thereof are given by Kac-Moody groups: they are non-uniform lattices in the automorphism group of the building. It is known that there are infinitely many ME classes, but much stronger rigidity results are expected.